Precálculo Ejemplos

$\frac{4 + x}{4 - x} \geq 1$

Paso 1

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{4 + x}{4 - x} - 1 \geq 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{4 + x}{4 - x} - 1$ .

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Paso 2.1

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4 - x}{4 - x}$ .

$\frac{4 + x}{4 - x} - 1 \cdot \frac{4 - x}{4 - x} \geq 0$

Paso 2.2

Combina $- 1$ y $\frac{4 - x}{4 - x}$ .

$\frac{4 + x}{4 - x} + \frac{- (4 - x)}{4 - x} \geq 0$

Paso 2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 + x - (4 - x)}{4 - x} \geq 0$

Paso 2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 + x - 1 \cdot 4 - - x}{4 - x} \geq 0$

Paso 2.4.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{4 + x - 4 - - x}{4 - x} \geq 0$

Paso 2.4.3

Multiplica $- - x$ .

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Paso 2.4.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{4 + x - 4 + 1 x}{4 - x} \geq 0$

Paso 2.4.3.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{4 + x - 4 + x}{4 - x} \geq 0$

Paso 2.4.4

Resta $4$ de $4$ .

$\frac{x + 0 + x}{4 - x} \geq 0$

Paso 2.4.5

Suma $x$ y $0$ .

$\frac{x + x}{4 - x} \geq 0$

Paso 2.4.6

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{2 x}{4 - x} \geq 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$2 x = 0$

$4 - x = 0$

Paso 4

Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 4.1

Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$x = 0$

Paso 5

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 4$

Paso 6

Divide cada término en $- x = - 4$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 6.1

Divide cada término en $- x = - 4$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 6.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Divide $- 4$ por $- 1$ .

$x = 4$

Paso 7

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 0$

$x = 4$

Paso 8

Consolida las soluciones.

$x = 0, 4$

Paso 9

Obtén el dominio de $\frac{2 x}{4 - x}$ .

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Paso 9.1

Establece el denominador en $\frac{2 x}{4 - x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$4 - x = 0$

Paso 9.2

Resuelve $x$

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Paso 9.2.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 4$

Paso 9.2.2

Divide cada término en $- x = - 4$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 9.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 4$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 9.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 9.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 9.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.2.2.3.1

Divide $- 4$ por $- 1$ .

$x = 4$

Paso 9.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Paso 10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Paso 11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 11.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 11.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$\frac{4 - 2}{4 - (- 2)} \geq 1$

Paso 11.1.3

$0.\overline{3}$ del lado izquierdo es menor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 11.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 11.2.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$\frac{4 + 2}{4 - (2)} \geq 1$

Paso 11.2.3

$3$ del lado izquierdo es mayor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 11.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 11.3.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$\frac{4 + 6}{4 - (6)} \geq 1$

Paso 11.3.3

$- 5$ del lado izquierdo es menor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 11.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Verdadero

$x > 4$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Verdadero

$x > 4$ Falso

Paso 12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$0 \leq x < 4$

Paso 13

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$[0, 4)$

Paso 14