Precálculo Ejemplos

$\frac{5 x - 7}{x^{2} - 1} \geq 0$

Paso 1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$5 x - 7 = 0$

$x^{2} - 1 = 0$

Paso 2

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$5 x = 7$

Paso 3

Divide cada término en $5 x = 7$ por $5$ y simplifica.

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Paso 3.1

Divide cada término en $5 x = 7$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{7}{5}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x}{5} = \frac{7}{5}$

Paso 3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{7}{5}$

Paso 4

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 1$

Paso 5

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Paso 6

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm 1$

Paso 7

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 7.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 1$

Paso 7.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 1$

Paso 7.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 1, - 1$

Paso 8

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = \frac{7}{5}$

$x = 1, - 1$

Paso 9

Consolida las soluciones.

$x = \frac{7}{5}, 1, - 1$

Paso 10

Obtén el dominio de $\frac{5 x - 7}{x^{2} - 1}$ .

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Paso 10.1

Establece el denominador en $\frac{5 x - 7}{x^{2} - 1}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} - 1 = 0$

Paso 10.2

Resuelve $x$

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Paso 10.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 1$

Paso 10.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Paso 10.2.3

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm 1$

Paso 10.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 10.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 1$

Paso 10.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 1$

Paso 10.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 1, - 1$

Paso 10.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 11

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < \frac{7}{5}$

$x > \frac{7}{5}$

Paso 12

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 12.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 12.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$\frac{5 (- 4) - 7}{{(- 4)}^{2} - 1} \geq 0$

Paso 12.1.3

$- 1.8$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 12.2

Prueba un valor en el intervalo $- 1 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 1 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 12.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{5 (0) - 7}{{(0)}^{2} - 1} \geq 0$

Paso 12.2.3

$7$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 12.3

Prueba un valor en el intervalo $1 < x < \frac{7}{5}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.3.1

Elije un valor en el intervalo $1 < x < \frac{7}{5}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1.2$

Paso 12.3.2

Reemplaza $x$ con $1.2$ en la desigualdad original.

$\frac{5 (1.2) - 7}{{(1.2)}^{2} - 1} \geq 0$

Paso 12.3.3

$- 2.\overline{27}$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 12.4

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{7}{5}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{7}{5}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 12.4.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{5 (4) - 7}{{(4)}^{2} - 1} \geq 0$

Paso 12.4.3

$0.8\overline{6}$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 12.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 1$ Verdadero

$1 < x < \frac{7}{5}$ Falso

$x > \frac{7}{5}$ Verdadero

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 1$ Verdadero

$1 < x < \frac{7}{5}$ Falso

$x > \frac{7}{5}$ Verdadero

Paso 13

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 1 < x < 1$ o $x \geq \frac{7}{5}$

Paso 14

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- 1, 1) \cup [\frac{7}{5}, \infty)$

Paso 15