Precálculo Ejemplos

$\frac{x^{2} - 9 x + 18}{4 x^{2} - 25} \leq 0$

Paso 1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x^{2} - 9 x + 18 = 0$

$4 x^{2} - 25 = 0$

Paso 2

Factoriza $x^{2} - 9 x + 18$ con el método AC.

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Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $18$ y cuya suma es $- 9$ .

$- 6, - 3$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 6) (x - 3) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 4

Establece $x - 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x - 6$ igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Paso 4.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

Paso 5

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 5.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 6) (x - 3) = 0$ verdadera.

$x = 6, 3$

Paso 7

Suma $25$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x^{2} = 25$

Paso 8

Divide cada término en $4 x^{2} = 25$ por $4$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $4 x^{2} = 25$ por $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}$

Paso 8.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{25}{4}$

Paso 9

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{25}{4}}$

Paso 10

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{25}{4}}$ .

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Paso 10.1

Reescribe $\sqrt{\frac{25}{4}}$ como $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$

Paso 10.2

Simplifica el numerador.

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Paso 10.2.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{4}}$

Paso 10.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{4}}$

Paso 10.3

Simplifica el denominador.

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Paso 10.3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{2^{2}}}$

Paso 10.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm \frac{5}{2}$

Paso 11

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 11.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{5}{2}$

Paso 11.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{5}{2}$

Paso 11.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

Paso 12

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 6, 3$

$x = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

Paso 13

Consolida las soluciones.

$x = 6, 3, \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

Paso 14

Obtén el dominio de $\frac{x^{2} - 9 x + 18}{4 x^{2} - 25}$ .

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Paso 14.1

Establece el denominador en $\frac{x^{2} - 9 x + 18}{4 x^{2} - 25}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$4 x^{2} - 25 = 0$

Paso 14.2

Resuelve $x$

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Paso 14.2.1

Suma $25$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x^{2} = 25$

Paso 14.2.2

Divide cada término en $4 x^{2} = 25$ por $4$ y simplifica.

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Paso 14.2.2.1

Divide cada término en $4 x^{2} = 25$ por $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}$

Paso 14.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 14.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 14.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}$

Paso 14.2.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{25}{4}$

Paso 14.2.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{25}{4}}$

Paso 14.2.4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{25}{4}}$ .

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Paso 14.2.4.1

Reescribe $\sqrt{\frac{25}{4}}$ como $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$

Paso 14.2.4.2

Simplifica el numerador.

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Paso 14.2.4.2.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{4}}$

Paso 14.2.4.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{4}}$

Paso 14.2.4.3

Simplifica el denominador.

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Paso 14.2.4.3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{2^{2}}}$

Paso 14.2.4.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm \frac{5}{2}$

Paso 14.2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 14.2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{5}{2}$

Paso 14.2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{5}{2}$

Paso 14.2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

Paso 14.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - \frac{5}{2}) \cup (- \frac{5}{2}, \frac{5}{2}) \cup (\frac{5}{2}, \infty)$

Paso 15

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - \frac{5}{2}$

$- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$

$\frac{5}{2} < x < 3$

$3 < x < 6$

$x > 6$

Paso 16

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 16.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - \frac{5}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 16.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - \frac{5}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 5$

Paso 16.1.2

Reemplaza $x$ con $- 5$ en la desigualdad original.

$\frac{{(- 5)}^{2} - 9 \cdot - 5 + 18}{4 {(- 5)}^{2} - 25} \leq 0$

Paso 16.1.3

$1.17\overline{3}$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 16.2

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 16.2.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 16.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{{(0)}^{2} - 9 \cdot 0 + 18}{4 {(0)}^{2} - 25} \leq 0$

Paso 16.2.3

$- 0.72$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 16.3

Prueba un valor en el intervalo $\frac{5}{2} < x < 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 16.3.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{5}{2} < x < 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2.75$

Paso 16.3.2

Reemplaza $x$ con $2.75$ en la desigualdad original.

$\frac{{(2.75)}^{2} - 9 \cdot 2.75 + 18}{4 {(2.75)}^{2} - 25} \leq 0$

Paso 16.3.3

$0.1547619$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 16.4

Prueba un valor en el intervalo $3 < x < 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 16.4.1

Elije un valor en el intervalo $3 < x < 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 16.4.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{{(4)}^{2} - 9 \cdot 4 + 18}{4 {(4)}^{2} - 25} \leq 0$

Paso 16.4.3

$- 0.\overline{051282}$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 16.5

Prueba un valor en el intervalo $x > 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 16.5.1

Elije un valor en el intervalo $x > 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 8$

Paso 16.5.2

Reemplaza $x$ con $8$ en la desigualdad original.

$\frac{{(8)}^{2} - 9 \cdot 8 + 18}{4 {(8)}^{2} - 25} \leq 0$

Paso 16.5.3

$0.\overline{043290}$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 16.6

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - \frac{5}{2}$ Falso

$- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ Verdadero

$\frac{5}{2} < x < 3$ Falso

$3 < x < 6$ Verdadero

$x > 6$ Falso

$x < - \frac{5}{2}$ Falso

$- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ Verdadero

$\frac{5}{2} < x < 3$ Falso

$3 < x < 6$ Verdadero

$x > 6$ Falso

Paso 17

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ o $3 \leq x \leq 6$

Paso 18

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \frac{5}{2}, \frac{5}{2}) \cup [3, 6]$

Paso 19