Precálculo Ejemplos

$\frac{x^{2} - 81}{x^{4} - 81} < 0$

Paso 1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x^{2} - 81 = 0$

$x^{4} - 81 = 0$

Paso 2

Suma $81$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 81$

Paso 3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{81}$

Paso 4

Simplifica $\pm \sqrt{81}$ .

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Paso 4.1

Reescribe $81$ como $9^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{9^{2}}$

Paso 4.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 9$

Paso 5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 9$

Paso 5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 9$

Paso 5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 9, - 9$

Paso 6

Suma $81$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{4} = 81$

Paso 7

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt[4]{81}$

Paso 8

Simplifica $\pm \sqrt[4]{81}$ .

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Paso 8.1

Reescribe $81$ como $3^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{3^{4}}$

Paso 8.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 3$

Paso 9

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 9.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 3$

Paso 9.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 3$

Paso 9.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 3, - 3$

Paso 10

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 9, - 9$

$x = 3, - 3$

Paso 11

Consolida las soluciones.

$x = 9, - 9, 3, - 3$

Paso 12

Obtén el dominio de $\frac{x^{2} - 81}{x^{4} - 81}$ .

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Paso 12.1

Establece el denominador en $\frac{x^{2} - 81}{x^{4} - 81}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{4} - 81 = 0$

Paso 12.2

Resuelve $x$

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Paso 12.2.1

Suma $81$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{4} = 81$

Paso 12.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt[4]{81}$

Paso 12.2.3

Simplifica $\pm \sqrt[4]{81}$ .

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Paso 12.2.3.1

Reescribe $81$ como $3^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{3^{4}}$

Paso 12.2.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 3$

Paso 12.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 12.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 3$

Paso 12.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 3$

Paso 12.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 3, - 3$

Paso 12.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

Paso 13

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 9$

$- 9 < x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$3 < x < 9$

$x > 9$

Paso 14

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 14.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 9$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 14.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 9$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 12$

Paso 14.1.2

Reemplaza $x$ con $- 12$ en la desigualdad original.

$\frac{{(- 12)}^{2} - 81}{{(- 12)}^{4} - 81} < 0$

Paso 14.1.3

$0.0030501$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 14.2

Prueba un valor en el intervalo $- 9 < x < - 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 14.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 9 < x < - 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 14.2.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$\frac{{(- 6)}^{2} - 81}{{(- 6)}^{4} - 81} < 0$

Paso 14.2.3

$- 0.\overline{037}$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 14.3

Prueba un valor en el intervalo $- 3 < x < 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 14.3.1

Elije un valor en el intervalo $- 3 < x < 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 14.3.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{{(0)}^{2} - 81}{{(0)}^{4} - 81} < 0$

Paso 14.3.3

$1$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 14.4

Prueba un valor en el intervalo $3 < x < 9$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 14.4.1

Elije un valor en el intervalo $3 < x < 9$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 14.4.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$\frac{{(6)}^{2} - 81}{{(6)}^{4} - 81} < 0$

Paso 14.4.3

$- 0.\overline{037}$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 14.5

Prueba un valor en el intervalo $x > 9$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 14.5.1

Elije un valor en el intervalo $x > 9$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 12$

Paso 14.5.2

Reemplaza $x$ con $12$ en la desigualdad original.

$\frac{{(12)}^{2} - 81}{{(12)}^{4} - 81} < 0$

Paso 14.5.3

$0.0030501$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 14.6

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 9$ Falso

$- 9 < x < - 3$ Verdadero

$- 3 < x < 3$ Falso

$3 < x < 9$ Verdadero

$x > 9$ Falso

$x < - 9$ Falso

$- 9 < x < - 3$ Verdadero

$- 3 < x < 3$ Falso

$3 < x < 9$ Verdadero

$x > 9$ Falso

Paso 15

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 9 < x < - 3$ o $3 < x < 9$

Paso 16

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- 9, - 3) \cup (3, 9)$

Paso 17