Precálculo Ejemplos

$\frac{x^{2} - 49}{x - 9} \leq 0$

Paso 1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x^{2} - 49 = 0$

$x - 9 = 0$

Paso 2

Suma $49$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 49$

Paso 3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{49}$

Paso 4

Simplifica $\pm \sqrt{49}$ .

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Paso 4.1

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{7^{2}}$

Paso 4.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 7$

Paso 5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 7$

Paso 5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 7$

Paso 5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 7, - 7$

Paso 6

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 9$

Paso 7

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 7, - 7$

$x = 9$

Paso 8

Consolida las soluciones.

$x = 7, - 7, 9$

Paso 9

Obtén el dominio de $\frac{x^{2} - 49}{x - 9}$ .

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Paso 9.1

Establece el denominador en $\frac{x^{2} - 49}{x - 9}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x - 9 = 0$

Paso 9.2

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 9$

Paso 9.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 9) \cup (9, \infty)$

Paso 10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 7$

$- 7 < x < 7$

$7 < x < 9$

$x > 9$

Paso 11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 11.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 7$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 7$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 10$

Paso 11.1.2

Reemplaza $x$ con $- 10$ en la desigualdad original.

$\frac{{(- 10)}^{2} - 49}{(- 10) - 9} \leq 0$

Paso 11.1.3

$- 2.68421052$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 11.2

Prueba un valor en el intervalo $- 7 < x < 7$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 7 < x < 7$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 11.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{{(0)}^{2} - 49}{(0) - 9} \leq 0$

Paso 11.2.3

$5.\overline{4}$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 11.3

Prueba un valor en el intervalo $7 < x < 9$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.3.1

Elije un valor en el intervalo $7 < x < 9$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 8$

Paso 11.3.2

Reemplaza $x$ con $8$ en la desigualdad original.

$\frac{{(8)}^{2} - 49}{(8) - 9} \leq 0$

Paso 11.3.3

$- 15$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 11.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 9$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 9$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 12$

Paso 11.4.2

Reemplaza $x$ con $12$ en la desigualdad original.

$\frac{{(12)}^{2} - 49}{(12) - 9} \leq 0$

Paso 11.4.3

$31.\overline{6}$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 11.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 7$ Verdadero

$- 7 < x < 7$ Falso

$7 < x < 9$ Verdadero

$x > 9$ Falso

$x < - 7$ Verdadero

$- 7 < x < 7$ Falso

$7 < x < 9$ Verdadero

$x > 9$ Falso

Paso 12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq - 7$ o $7 \leq x < 9$

Paso 13

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, - 7] \cup [7, 9)$

Paso 14