Precálculo Ejemplos

$\frac{2 x - 7}{3 x + 2} \geq 1$

Paso 1

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{2 x - 7}{3 x + 2} - 1 \geq 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{2 x - 7}{3 x + 2} - 1$ .

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Paso 2.1

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 x + 2}{3 x + 2}$ .

$\frac{2 x - 7}{3 x + 2} - 1 \cdot \frac{3 x + 2}{3 x + 2} \geq 0$

Paso 2.2

Combina $- 1$ y $\frac{3 x + 2}{3 x + 2}$ .

$\frac{2 x - 7}{3 x + 2} + \frac{- (3 x + 2)}{3 x + 2} \geq 0$

Paso 2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 x - 7 - (3 x + 2)}{3 x + 2} \geq 0$

Paso 2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x - 7 - (3 x) - 1 \cdot 2}{3 x + 2} \geq 0$

Paso 2.4.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{2 x - 7 - 3 x - 1 \cdot 2}{3 x + 2} \geq 0$

Paso 2.4.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 x - 7 - 3 x - 2}{3 x + 2} \geq 0$

Paso 2.4.4

Resta $3 x$ de $2 x$ .

$\frac{- x - 7 - 2}{3 x + 2} \geq 0$

Paso 2.4.5

Resta $2$ de $- 7$ .

$\frac{- x - 9}{3 x + 2} \geq 0$

Paso 2.5

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{- (x) - 9}{3 x + 2} \geq 0$

Paso 2.6

Reescribe $- 9$ como $- 1 (9)$ .

$\frac{- (x) - 1 (9)}{3 x + 2} \geq 0$

Paso 2.7

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (9)$ .

$\frac{- (x + 9)}{3 x + 2} \geq 0$

Paso 2.8

Reescribe $- (x + 9)$ como $- 1 (x + 9)$ .

$\frac{- 1 (x + 9)}{3 x + 2} \geq 0$

Paso 2.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x + 9}{3 x + 2} \geq 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x + 9 = 0$

$3 x + 2 = 0$

Paso 4

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 9$

Paso 5

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 2$

Paso 6

Divide cada término en $3 x = - 2$ por $3$ y simplifica.

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Paso 6.1

Divide cada término en $3 x = - 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Paso 6.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{2}{3}$

Paso 7

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = - 9$

$x = - \frac{2}{3}$

Paso 8

Consolida las soluciones.

$x = - 9, - \frac{2}{3}$

Paso 9

Obtén el dominio de $- \frac{x + 9}{3 x + 2}$ .

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Paso 9.1

Establece el denominador en $\frac{x + 9}{3 x + 2}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$3 x + 2 = 0$

Paso 9.2

Resuelve $x$

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Paso 9.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 2$

Paso 9.2.2

Divide cada término en $3 x = - 2$ por $3$ y simplifica.

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Paso 9.2.2.1

Divide cada término en $3 x = - 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Paso 9.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Paso 9.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Paso 9.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{2}{3}$

Paso 9.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, \infty)$

Paso 10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 9$

$- 9 < x < - \frac{2}{3}$

$x > - \frac{2}{3}$

Paso 11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 11.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 9$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 9$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 12$

Paso 11.1.2

Reemplaza $x$ con $- 12$ en la desigualdad original.

$\frac{2 (- 12) - 7}{3 (- 12) + 2} \geq 1$

Paso 11.1.3

$0.9117647$ del lado izquierdo es menor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 11.2

Prueba un valor en el intervalo $- 9 < x < - \frac{2}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 9 < x < - \frac{2}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 5$

Paso 11.2.2

Reemplaza $x$ con $- 5$ en la desigualdad original.

$\frac{2 (- 5) - 7}{3 (- 5) + 2} \geq 1$

Paso 11.2.3

$1.\overline{307692}$ del lado izquierdo es mayor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 11.3

Prueba un valor en el intervalo $x > - \frac{2}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > - \frac{2}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 11.3.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{2 (0) - 7}{3 (0) + 2} \geq 1$

Paso 11.3.3

$- 3.5$ del lado izquierdo es menor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 11.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 9$ Falso

$- 9 < x < - \frac{2}{3}$ Verdadero

$x > - \frac{2}{3}$ Falso

$x < - 9$ Falso

$- 9 < x < - \frac{2}{3}$ Verdadero

$x > - \frac{2}{3}$ Falso

Paso 12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 9 \leq x < - \frac{2}{3}$

Paso 13

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$[- 9, - \frac{2}{3})$

Paso 14