Precálculo Ejemplos

$\frac{(x^{2} + 1) (x - 5)}{x^{2} - 25} \geq 0$

Paso 1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x^{2} + 1 = 0$

$x - 5 = 0$

$x^{2} - 25 = 0$

Paso 2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 1$

Paso 3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Paso 4

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Paso 5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i$

Paso 5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i$

Paso 5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i, - i$

Paso 6

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 7

Suma $25$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 25$

Paso 8

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{25}$

Paso 9

Simplifica $\pm \sqrt{25}$ .

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Paso 9.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Paso 9.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 5$

Paso 10

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 10.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 5$

Paso 10.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 5$

Paso 10.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 5, - 5$

Paso 11

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = i, - i$

$x = 5$

$x = 5, - 5$

Paso 12

Consolida las soluciones.

$x = 5, 5, - 5$

Paso 13

Obtén el dominio de $\frac{(x^{2} + 1) (x - 5)}{x^{2} - 25}$ .

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Paso 13.1

Establece el denominador en $\frac{(x^{2} + 1) (x - 5)}{x^{2} - 25}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} - 25 = 0$

Paso 13.2

Resuelve $x$

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Paso 13.2.1

Suma $25$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 25$

Paso 13.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{25}$

Paso 13.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{25}$ .

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Paso 13.2.3.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Paso 13.2.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 5$

Paso 13.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 13.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 5$

Paso 13.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 5$

Paso 13.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 5, - 5$

Paso 13.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 5) \cup (5, \infty)$

Paso 14

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 5$

$- 5 < x < 5$

$x > 5$

Paso 15

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 15.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 15.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 8$

Paso 15.1.2

Reemplaza $x$ con $- 8$ en la desigualdad original.

$\frac{({(- 8)}^{2} + 1) ((- 8) - 5)}{{(- 8)}^{2} - 25} \geq 0$

Paso 15.1.3

$- 21.\overline{6}$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 15.2

Prueba un valor en el intervalo $- 5 < x < 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 15.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 5 < x < 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 15.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{({(0)}^{2} + 1) ((0) - 5)}{{(0)}^{2} - 25} \geq 0$

Paso 15.2.3

$0.2$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 15.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 15.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 8$

Paso 15.3.2

Reemplaza $x$ con $8$ en la desigualdad original.

$\frac{({(8)}^{2} + 1) ((8) - 5)}{{(8)}^{2} - 25} \geq 0$

Paso 15.3.3

$5$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 15.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 5$ Falso

$- 5 < x < 5$ Verdadero

$x > 5$ Verdadero

$x < - 5$ Falso

$- 5 < x < 5$ Verdadero

$x > 5$ Verdadero

Paso 16

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 5 < x < 5$ o $x > 5$

Paso 17

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- 5, 5) \cup (5, \infty)$

Paso 18