Precálculo Ejemplos

$- 1$ , $6 - 7 i$

Paso 1

Las raíces son los puntos en los que la gráfica forma una intersección con el eje x $(y = 0)$ .

$y = 0$ en las raíces

Paso 2

La raíz de $x = - 1$ se obtuvo al resolver $x$ cuando $x - (- 1) = y$ y $y = 0$ .

El factor es $x + 1$ .

Paso 3

La raíz de $x = 6 - 7 i$ se obtuvo al resolver $x$ cuando $x - (6 - 7 i) = y$ y $y = 0$ .

El factor es $x - 6 + 7 i$ .

Paso 4

La raíz de $x = 6 + 7 i$ se obtuvo al resolver $x$ cuando $x - (6 + 7 i) = y$ y $y = 0$ .

El factor es $x - 6 - 7 i$ .

Paso 5

Combina todos los factores en una sola ecuación.

$y = (x + 1) (x - 6 + 7 i) (x - 6 - 7 i)$

Paso 6

Multiplica todos los factores para simplificar la ecuación $y = (x + 1) (x - 6 + 7 i) (x - 6 - 7 i)$ .

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Paso 6.1

Expande $(x + 1) (x - 6 + 7 i)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$y = (x \cdot x + x \cdot - 6 + x (7 i) + 1 x + 1 \cdot - 6 + 1 (7 i)) (x - 6 - 7 i)$

Paso 6.2

Simplifica los términos.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = (x^{2} + x \cdot - 6 + x (7 i) + 1 x + 1 \cdot - 6 + 1 (7 i)) (x - 6 - 7 i)$

Paso 6.2.1.2

Mueve $- 6$ a la izquierda de $x$ .

$y = (x^{2} - 6 \cdot x + x (7 i) + 1 x + 1 \cdot - 6 + 1 (7 i)) (x - 6 - 7 i)$

Paso 6.2.1.3

Mueve $7$ a la izquierda de $x$ .

$y = (x^{2} - 6 x + 7 \cdot (x i) + 1 x + 1 \cdot - 6 + 1 (7 i)) (x - 6 - 7 i)$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$y = (x^{2} - 6 x + 7 x i + x + 1 \cdot - 6 + 1 (7 i)) (x - 6 - 7 i)$

Paso 6.2.1.5

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$y = (x^{2} - 6 x + 7 x i + x - 6 + 1 (7 i)) (x - 6 - 7 i)$

Paso 6.2.1.6

Multiplica $7 i$ por $1$ .

$y = (x^{2} - 6 x + 7 x i + x - 6 + 7 i) (x - 6 - 7 i)$

Paso 6.2.2

Suma $- 6 x$ y $x$ .

$y = (x^{2} + 7 x i - 5 x - 6 + 7 i) (x - 6 - 7 i)$

Paso 6.3

Expande $(x^{2} + 7 x i - 5 x - 6 + 7 i) (x - 6 - 7 i)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$y = x^{2} x + x^{2} \cdot - 6 + x^{2} (- 7 i) + 7 x i x + 7 x i \cdot - 6 + 7 x i (- 7 i) - 5 x \cdot x - 5 x \cdot - 6 - 5 x (- 7 i) - 6 x - 6 \cdot - 6 - 6 (- 7 i) + 7 i x + 7 i \cdot - 6 + 7 i (- 7 i)$

Paso 6.4

Simplifica los términos.

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Paso 6.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.4.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.4.1.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 6.4.1.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

Paso 6.4.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 6 + x^{2} (- 7 i) + 7 x i x + 7 x i \cdot - 6 + 7 x i (- 7 i) - 5 x \cdot x - 5 x \cdot - 6 - 5 x (- 7 i) - 6 x - 6 \cdot - 6 - 6 (- 7 i) + 7 i x + 7 i \cdot - 6 + 7 i (- 7 i)$

Paso 6.4.1.1.2

Suma $2$ y $1$ .

$y = x^{3} + x^{2} \cdot - 6 + x^{2} (- 7 i) + 7 x i x + 7 x i \cdot - 6 + 7 x i (- 7 i) - 5 x \cdot x - 5 x \cdot - 6 - 5 x (- 7 i) - 6 x - 6 \cdot - 6 - 6 (- 7 i) + 7 i x + 7 i \cdot - 6 + 7 i (- 7 i)$

Paso 6.4.1.2

Mueve $- 6$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$y = x^{3} - 6 \cdot x^{2} + x^{2} (- 7 i) + 7 x i x + 7 x i \cdot - 6 + 7 x i (- 7 i) - 5 x \cdot x - 5 x \cdot - 6 - 5 x (- 7 i) - 6 x - 6 \cdot - 6 - 6 (- 7 i) + 7 i x + 7 i \cdot - 6 + 7 i (- 7 i)$

Paso 6.4.1.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.4.1.3.1

Mueve $x$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + x^{2} (- 7 i) + 7 (x \cdot x) i + 7 x i \cdot - 6 + 7 x i (- 7 i) - 5 x \cdot x - 5 x \cdot - 6 - 5 x (- 7 i) - 6 x - 6 \cdot - 6 - 6 (- 7 i) + 7 i x + 7 i \cdot - 6 + 7 i (- 7 i)$

Paso 6.4.1.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + x^{2} (- 7 i) + 7 x^{2} i + 7 x i \cdot - 6 + 7 x i (- 7 i) - 5 x \cdot x - 5 x \cdot - 6 - 5 x (- 7 i) - 6 x - 6 \cdot - 6 - 6 (- 7 i) + 7 i x + 7 i \cdot - 6 + 7 i (- 7 i)$

Paso 6.4.1.4

Multiplica $- 6$ por $7$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + x^{2} (- 7 i) + 7 x^{2} i - 42 x i + 7 x i (- 7 i) - 5 x \cdot x - 5 x \cdot - 6 - 5 x (- 7 i) - 6 x - 6 \cdot - 6 - 6 (- 7 i) + 7 i x + 7 i \cdot - 6 + 7 i (- 7 i)$

Paso 6.4.1.5

Multiplica $7 x i (- 7 i)$ .

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Paso 6.4.1.5.1

Multiplica $- 7$ por $7$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + x^{2} (- 7 i) + 7 x^{2} i - 42 x i - 49 x i i - 5 x \cdot x - 5 x \cdot - 6 - 5 x (- 7 i) - 6 x - 6 \cdot - 6 - 6 (- 7 i) + 7 i x + 7 i \cdot - 6 + 7 i (- 7 i)$

Paso 6.4.1.5.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + x^{2} (- 7 i) + 7 x^{2} i - 42 x i - 49 x (i i) - 5 x \cdot x - 5 x \cdot - 6 - 5 x (- 7 i) - 6 x - 6 \cdot - 6 - 6 (- 7 i) + 7 i x + 7 i \cdot - 6 + 7 i (- 7 i)$

Paso 6.4.1.5.3

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + x^{2} (- 7 i) + 7 x^{2} i - 42 x i - 49 x (i i) - 5 x \cdot x - 5 x \cdot - 6 - 5 x (- 7 i) - 6 x - 6 \cdot - 6 - 6 (- 7 i) + 7 i x + 7 i \cdot - 6 + 7 i (- 7 i)$

Paso 6.4.1.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = x^{3} - 6 x^{2} + x^{2} (- 7 i) + 7 x^{2} i - 42 x i - 49 x i^{1 + 1} - 5 x \cdot x - 5 x \cdot - 6 - 5 x (- 7 i) - 6 x - 6 \cdot - 6 - 6 (- 7 i) + 7 i x + 7 i \cdot - 6 + 7 i (- 7 i)$

Paso 6.4.1.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + x^{2} (- 7 i) + 7 x^{2} i - 42 x i - 49 x i^{2} - 5 x \cdot x - 5 x \cdot - 6 - 5 x (- 7 i) - 6 x - 6 \cdot - 6 - 6 (- 7 i) + 7 i x + 7 i \cdot - 6 + 7 i (- 7 i)$

Paso 6.4.1.6

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + x^{2} (- 7 i) + 7 x^{2} i - 42 x i - 49 x \cdot - 1 - 5 x \cdot x - 5 x \cdot - 6 - 5 x (- 7 i) - 6 x - 6 \cdot - 6 - 6 (- 7 i) + 7 i x + 7 i \cdot - 6 + 7 i (- 7 i)$

Paso 6.4.1.7

Multiplica $- 1$ por $- 49$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + x^{2} (- 7 i) + 7 x^{2} i - 42 x i + 49 x - 5 x \cdot x - 5 x \cdot - 6 - 5 x (- 7 i) - 6 x - 6 \cdot - 6 - 6 (- 7 i) + 7 i x + 7 i \cdot - 6 + 7 i (- 7 i)$

Paso 6.4.1.8

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.4.1.8.1

Mueve $x$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + x^{2} (- 7 i) + 7 x^{2} i - 42 x i + 49 x - 5 (x \cdot x) - 5 x \cdot - 6 - 5 x (- 7 i) - 6 x - 6 \cdot - 6 - 6 (- 7 i) + 7 i x + 7 i \cdot - 6 + 7 i (- 7 i)$

Paso 6.4.1.8.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + x^{2} (- 7 i) + 7 x^{2} i - 42 x i + 49 x - 5 x^{2} - 5 x \cdot - 6 - 5 x (- 7 i) - 6 x - 6 \cdot - 6 - 6 (- 7 i) + 7 i x + 7 i \cdot - 6 + 7 i (- 7 i)$

Paso 6.4.1.9

Multiplica $- 6$ por $- 5$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + x^{2} (- 7 i) + 7 x^{2} i - 42 x i + 49 x - 5 x^{2} + 30 x - 5 x (- 7 i) - 6 x - 6 \cdot - 6 - 6 (- 7 i) + 7 i x + 7 i \cdot - 6 + 7 i (- 7 i)$

Paso 6.4.1.10

Multiplica $- 7$ por $- 5$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + x^{2} (- 7 i) + 7 x^{2} i - 42 x i + 49 x - 5 x^{2} + 30 x + 35 x i - 6 x - 6 \cdot - 6 - 6 (- 7 i) + 7 i x + 7 i \cdot - 6 + 7 i (- 7 i)$

Paso 6.4.1.11

Multiplica $- 6$ por $- 6$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + x^{2} (- 7 i) + 7 x^{2} i - 42 x i + 49 x - 5 x^{2} + 30 x + 35 x i - 6 x + 36 - 6 (- 7 i) + 7 i x + 7 i \cdot - 6 + 7 i (- 7 i)$

Paso 6.4.1.12

Multiplica $- 7$ por $- 6$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + x^{2} (- 7 i) + 7 x^{2} i - 42 x i + 49 x - 5 x^{2} + 30 x + 35 x i - 6 x + 36 + 42 i + 7 i x + 7 i \cdot - 6 + 7 i (- 7 i)$

Paso 6.4.1.13

Multiplica $- 6$ por $7$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + x^{2} (- 7 i) + 7 x^{2} i - 42 x i + 49 x - 5 x^{2} + 30 x + 35 x i - 6 x + 36 + 42 i + 7 i x - 42 i + 7 i (- 7 i)$

Paso 6.4.1.14

Multiplica $7 i (- 7 i)$ .

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Paso 6.4.1.14.1

Multiplica $- 7$ por $7$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + x^{2} (- 7 i) + 7 x^{2} i - 42 x i + 49 x - 5 x^{2} + 30 x + 35 x i - 6 x + 36 + 42 i + 7 i x - 42 i - 49 i i$

Paso 6.4.1.14.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + x^{2} (- 7 i) + 7 x^{2} i - 42 x i + 49 x - 5 x^{2} + 30 x + 35 x i - 6 x + 36 + 42 i + 7 i x - 42 i - 49 (i i)$

Paso 6.4.1.14.3

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + x^{2} (- 7 i) + 7 x^{2} i - 42 x i + 49 x - 5 x^{2} + 30 x + 35 x i - 6 x + 36 + 42 i + 7 i x - 42 i - 49 (i i)$

Paso 6.4.1.14.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = x^{3} - 6 x^{2} + x^{2} (- 7 i) + 7 x^{2} i - 42 x i + 49 x - 5 x^{2} + 30 x + 35 x i - 6 x + 36 + 42 i + 7 i x - 42 i - 49 i^{1 + 1}$

Paso 6.4.1.14.5

Suma $1$ y $1$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + x^{2} (- 7 i) + 7 x^{2} i - 42 x i + 49 x - 5 x^{2} + 30 x + 35 x i - 6 x + 36 + 42 i + 7 i x - 42 i - 49 i^{2}$

Paso 6.4.1.15

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + x^{2} (- 7 i) + 7 x^{2} i - 42 x i + 49 x - 5 x^{2} + 30 x + 35 x i - 6 x + 36 + 42 i + 7 i x - 42 i - 49 \cdot - 1$

Paso 6.4.1.16

Multiplica $- 49$ por $- 1$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + x^{2} (- 7 i) + 7 x^{2} i - 42 x i + 49 x - 5 x^{2} + 30 x + 35 x i - 6 x + 36 + 42 i + 7 i x - 42 i + 49$

Paso 6.4.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 6.4.2.1

Combina los términos opuestos en $x^{3} - 6 x^{2} + x^{2} (- 7 i) + 7 x^{2} i - 42 x i + 49 x - 5 x^{2} + 30 x + 35 x i - 6 x + 36 + 42 i + 7 i x - 42 i + 49$ .

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Paso 6.4.2.1.1

Reordena los factores en los términos $x^{2} (- 7 i)$ y $7 x^{2} i$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} - 7 i x^{2} + 7 i x^{2} - 42 x i + 49 x - 5 x^{2} + 30 x + 35 x i - 6 x + 36 + 42 i + 7 i x - 42 i + 49$

Paso 6.4.2.1.2

Suma $- 7 i x^{2}$ y $7 i x^{2}$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + 0 - 42 x i + 49 x - 5 x^{2} + 30 x + 35 x i - 6 x + 36 + 42 i + 7 i x - 42 i + 49$

Paso 6.4.2.1.3

Suma $x^{3} - 6 x^{2}$ y $0$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} - 42 x i + 49 x - 5 x^{2} + 30 x + 35 x i - 6 x + 36 + 42 i + 7 i x - 42 i + 49$

Paso 6.4.2.1.4

Resta $42 i$ de $42 i$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} - 42 x i + 49 x - 5 x^{2} + 30 x + 35 x i - 6 x + 36 + 7 i x + 0 + 49$

Paso 6.4.2.1.5

Suma $x^{3} - 6 x^{2} - 42 x i + 49 x - 5 x^{2} + 30 x + 35 x i - 6 x + 36 + 7 i x$ y $0$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} - 42 x i + 49 x - 5 x^{2} + 30 x + 35 x i - 6 x + 36 + 7 i x + 49$

Paso 6.4.2.2

Resta $5 x^{2}$ de $- 6 x^{2}$ .

$y = x^{3} - 11 x^{2} - 42 x i + 49 x + 30 x + 35 x i - 6 x + 36 + 7 i x + 49$

Paso 6.4.2.3

Suma $- 42 x i$ y $35 x i$ .

$y = x^{3} - 11 x^{2} - 7 x i + 49 x + 30 x - 6 x + 36 + 7 i x + 49$

Paso 6.4.2.4

Combina los términos opuestos en $x^{3} - 11 x^{2} - 7 x i + 49 x + 30 x - 6 x + 36 + 7 i x + 49$ .

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Paso 6.4.2.4.1

Reordena los factores en los términos $- 7 x i$ y $7 i x$ .

$y = x^{3} - 11 x^{2} - 7 i x + 49 x + 30 x - 6 x + 36 + 7 i x + 49$

Paso 6.4.2.4.2

Suma $- 7 i x$ y $7 i x$ .

$y = x^{3} - 11 x^{2} + 49 x + 30 x - 6 x + 36 + 0 + 49$

Paso 6.4.2.4.3

Suma $x^{3} - 11 x^{2} + 49 x + 30 x - 6 x + 36$ y $0$ .

$y = x^{3} - 11 x^{2} + 49 x + 30 x - 6 x + 36 + 49$

Paso 6.4.2.5

Suma $49 x$ y $30 x$ .

$y = x^{3} - 11 x^{2} + 79 x - 6 x + 36 + 49$

Paso 6.4.2.6

Resta $6 x$ de $79 x$ .

$y = x^{3} - 11 x^{2} + 73 x + 36 + 49$

Paso 6.4.2.7

Suma $36$ y $49$ .

$y = x^{3} - 11 x^{2} + 73 x + 85$

Paso 7