Precálculo Ejemplos

$\cos (θ) = \frac{5}{7}$

Paso 1

Usa la definición de coseno para obtener los lados conocidos del triángulo rectángulo del círculo unitario. El cuadrante determina el signo en cada uno de los valores.

$\cos (θ) = \frac{adyacente}{Hipotenusa}$

Paso 2

Obtén el lado opuesto del triángulo del círculo unitario. Dado que se conocen el lado adyacente y la hipotenusa, usa el teorema de Pitágoras para encontrar el lado restante.

$Opuesto = \sqrt{{Hipotenusa}^{2} - {adyacente}^{2}}$

Paso 3

Reemplaza los valores conocidos en la ecuación.

$Opuesto = \sqrt{{(7)}^{2} - {(5)}^{2}}$

Paso 4

Simplifica dentro del radical.

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Paso 4.1

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

Opuesta $= \sqrt{49 - {(5)}^{2}}$

Paso 4.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

Opuesta $= \sqrt{49 - 1 \cdot 25}$

Paso 4.3

Multiplica $- 1$ por $25$ .

Opuesta $= \sqrt{49 - 25}$

Paso 4.4

Resta $25$ de $49$ .

Opuesta $= \sqrt{24}$

Paso 4.5

Reescribe $24$ como $2^{2} \cdot 6$ .

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Paso 4.5.1

Factoriza $4$ de $24$ .

Opuesta $= \sqrt{4 (6)}$

Paso 4.5.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

Opuesta $= \sqrt{2^{2} \cdot 6}$

Paso 4.6

Retira los términos de abajo del radical.

Opuesta $= 2 \sqrt{6}$

Paso 5

Obtén el valor del seno.

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Paso 5.1

Usa la definición de seno para obtener el valor de $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Paso 5.2

Sustituye los valores conocidos.

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{6}}{7}$

Paso 6

Obtén el valor de la tangente.

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Paso 6.1

Usa la definición de tangente para obtener el valor de $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos.

$\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

Paso 7

Obtén el valor de la cotangente.

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Paso 7.1

Usa la definición de cotangente para obtener el valor de $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos.

$\cot (θ) = \frac{5}{2 \sqrt{6}}$

Paso 7.3

Simplifica el valor de $\cot (θ)$ .

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Paso 7.3.1

Multiplica $\frac{5}{2 \sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\cot (θ) = \frac{5}{2 \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Paso 7.3.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 7.3.2.1

Multiplica $\frac{5}{2 \sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\cot (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{2 \sqrt{6} \sqrt{6}}$

Paso 7.3.2.2

Mueve $\sqrt{6}$ .

$\cot (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Paso 7.3.2.3

Eleva $\sqrt{6}$ a la potencia de $1$ .

$\cot (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Paso 7.3.2.4

Eleva $\sqrt{6}$ a la potencia de $1$ .

$\cot (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Paso 7.3.2.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cot (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{2 {\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Paso 7.3.2.6

Suma $1$ y $1$ .

$\cot (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{2 {\sqrt{6}}^{2}}$

Paso 7.3.2.7

Reescribe ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

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Paso 7.3.2.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{2 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 7.3.2.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 7.3.2.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\cot (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.3.2.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.3.2.7.4.1

Cancela el factor común.

$\cot (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.3.2.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\cot (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6}$

Paso 7.3.2.7.5

Evalúa el exponente.

$\cot (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6}$

Paso 7.3.3

Multiplica $2$ por $6$ .

$\cot (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{12}$

Paso 8

Obtén el valor de la secante.

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Paso 8.1

Usa la definición de secante para obtener el valor de $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Paso 8.2

Sustituye los valores conocidos.

$\sec (θ) = \frac{7}{5}$

Paso 9

Obtén el valor de la cosecante.

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Paso 9.1

Usa la definición de cosecante para obtener el valor de $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Paso 9.2

Sustituye los valores conocidos.

$\csc (θ) = \frac{7}{2 \sqrt{6}}$

Paso 9.3

Simplifica el valor de $\csc (θ)$ .

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Paso 9.3.1

Multiplica $\frac{7}{2 \sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\csc (θ) = \frac{7}{2 \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Paso 9.3.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 9.3.2.1

Multiplica $\frac{7}{2 \sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{6}}{2 \sqrt{6} \sqrt{6}}$

Paso 9.3.2.2

Mueve $\sqrt{6}$ .

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Paso 9.3.2.3

Eleva $\sqrt{6}$ a la potencia de $1$ .

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Paso 9.3.2.4

Eleva $\sqrt{6}$ a la potencia de $1$ .

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Paso 9.3.2.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{6}}{2 {\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Paso 9.3.2.6

Suma $1$ y $1$ .

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{6}}{2 {\sqrt{6}}^{2}}$

Paso 9.3.2.7

Reescribe ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

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Paso 9.3.2.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{6}}{2 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 9.3.2.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 9.3.2.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.2.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.2.7.4.1

Cancela el factor común.

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.2.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{6}}{2 \cdot 6}$

Paso 9.3.2.7.5

Evalúa el exponente.

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{6}}{2 \cdot 6}$

Paso 9.3.3

Multiplica $2$ por $6$ .

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{6}}{12}$

Paso 10

Esta es la solución de cada valor trigonométrico.

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{6}}{7}$

$\cos (θ) = \frac{5}{7}$

$\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

$\cot (θ) = \frac{5 \sqrt{6}}{12}$

$\sec (θ) = \frac{7}{5}$

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{6}}{12}$