Precálculo Ejemplos

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 42 x^{2} - 8 x + 41$

Paso 1

Establece $x^{4} - 8 x^{3} + 42 x^{2} - 8 x + 41$ igual a $0$ .

$x^{4} - 8 x^{3} + 42 x^{2} - 8 x + 41 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Reagrupa los términos.

$- 8 x^{3} - 8 x + x^{4} + 42 x^{2} + 41 = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $- 8 x$ de $- 8 x^{3} - 8 x$ .

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $- 8 x$ de $- 8 x^{3}$ .

$- 8 x \cdot x^{2} - 8 x + x^{4} + 42 x^{2} + 41 = 0$

Paso 2.1.2.2

Factoriza $- 8 x$ de $- 8 x$ .

$- 8 x \cdot x^{2} - 8 x \cdot 1 + x^{4} + 42 x^{2} + 41 = 0$

Paso 2.1.2.3

Factoriza $- 8 x$ de $- 8 x (x^{2}) - 8 x (1)$ .

$- 8 x (x^{2} + 1) + x^{4} + 42 x^{2} + 41 = 0$

Paso 2.1.3

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 8 x (x^{2} + 1) + {(x^{2})}^{2} + 42 x^{2} + 41 = 0$

Paso 2.1.4

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$- 8 x (x^{2} + 1) + u^{2} + 42 u + 41 = 0$

Paso 2.1.5

Factoriza $u^{2} + 42 u + 41$ con el método AC.

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Paso 2.1.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $41$ y cuya suma es $42$ .

$1, 41$

Paso 2.1.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- 8 x (x^{2} + 1) + (u + 1) (u + 41) = 0$

Paso 2.1.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$- 8 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 41) = 0$

Paso 2.1.7

Factoriza $x^{2} + 1$ de $- 8 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 41)$ .

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Paso 2.1.7.1

Factoriza $x^{2} + 1$ de $- 8 x (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 1) (- 8 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 41) = 0$

Paso 2.1.7.2

Factoriza $x^{2} + 1$ de $(x^{2} + 1) (- 8 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 41)$ .

$(x^{2} + 1) (- 8 x + x^{2} + 41) = 0$

Paso 2.1.8

Reordena los términos.

$(x^{2} + 1) (x^{2} - 8 x + 41) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

$x^{2} - 8 x + 41 = 0$

Paso 2.3

Establece $x^{2} + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $x^{2} + 1$ igual a $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Paso 2.3.2

Resuelve $x^{2} + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 1$

Paso 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Paso 2.3.2.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Paso 2.3.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.3.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i$

Paso 2.3.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i$

Paso 2.3.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i, - i$

Paso 2.4

Establece $x^{2} - 8 x + 41$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x^{2} - 8 x + 41$ igual a $0$ .

$x^{2} - 8 x + 41 = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $x^{2} - 8 x + 41 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.4.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 8$ y $c = 41$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 41)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3

Simplifica.

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Paso 2.4.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.2.3.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 41$ .

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Paso 2.4.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $41$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 164}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.3

Resta $164$ de $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 100}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.4

Reescribe $- 100$ como $- 1 (100)$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (100)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.7

Reescribe $100$ como $10^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{10^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{8 \pm i \cdot 10}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.9

Mueve $10$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2}$

Paso 2.4.2.3.3

Simplifica $\frac{8 \pm 10 i}{2}$ .

$x = 4 \pm 5 i$

Paso 2.4.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 4 + 5 i, 4 - 5 i$

Paso 2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x^{2} + 1) (x^{2} - 8 x + 41) = 0$ verdadera.

$x = i, - i, 4 + 5 i, 4 - 5 i$

Paso 3