Precálculo Ejemplos

$f (x) = x^{5} + x^{3} - 42 x$

Paso 1

Establece $x^{5} + x^{3} - 42 x$ igual a $0$ .

$x^{5} + x^{3} - 42 x = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Factoriza $x$ de $x^{5} + x^{3} - 42 x$ .

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Paso 2.1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} + x^{3} - 42 x = 0$

Paso 2.1.1.2

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x \cdot x^{2} - 42 x = 0$

Paso 2.1.1.3

Factoriza $x$ de $- 42 x$ .

$x \cdot x^{4} + x \cdot x^{2} + x \cdot - 42 = 0$

Paso 2.1.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{4} + x \cdot x^{2}$ .

$x (x^{4} + x^{2}) + x \cdot - 42 = 0$

Paso 2.1.1.5

Factoriza $x$ de $x (x^{4} + x^{2}) + x \cdot - 42$ .

$x (x^{4} + x^{2} - 42) = 0$

Paso 2.1.2

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} + x^{2} - 42) = 0$

Paso 2.1.3

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$x (u^{2} + u - 42) = 0$

Paso 2.1.4

Factoriza $u^{2} + u - 42$ con el método AC.

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Paso 2.1.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 42$ y cuya suma es $1$ .

$- 6, 7$

Paso 2.1.4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$x ((u - 6) (u + 7)) = 0$

Paso 2.1.5

Factoriza.

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Paso 2.1.5.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$x ((x^{2} - 6) (x^{2} + 7)) = 0$

Paso 2.1.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x (x^{2} - 6) (x^{2} + 7) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 6 = 0$

$x^{2} + 7 = 0$

Paso 2.3

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.4

Establece $x^{2} - 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x^{2} - 6$ igual a $0$ .

$x^{2} - 6 = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $x^{2} - 6 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 6$

Paso 2.4.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{6}$

Paso 2.4.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.4.2.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{6}$

Paso 2.4.2.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{6}$

Paso 2.4.2.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Paso 2.5

Establece $x^{2} + 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x^{2} + 7$ igual a $0$ .

$x^{2} + 7 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $x^{2} + 7 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 7$

Paso 2.5.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- 7}$

Paso 2.5.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 7}$ .

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Paso 2.5.2.3.1

Reescribe $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (7)}$

Paso 2.5.2.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (7)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$

Paso 2.5.2.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{7}$

Paso 2.5.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.5.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i \sqrt{7}$

Paso 2.5.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i \sqrt{7}$

Paso 2.5.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i \sqrt{7}, - i \sqrt{7}$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x^{2} - 6) (x^{2} + 7) = 0$ verdadera.

$x = 0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}, i \sqrt{7}, - i \sqrt{7}$

Paso 3