Precálculo Ejemplos

$f (x) = 24 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x + 2$

Paso 1

Establece $24 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x + 2$ igual a $0$ .

$24 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x + 2 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Factoriza $24 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x + 2$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 2.1.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

Paso 2.1.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.041\overline{6}, \pm 0.5, \pm 0.08\overline{3}, \pm 0.\overline{3}, \pm 0.125, \pm 0.25, \pm 0.1\overline{6}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}$

Paso 2.1.1.3

Sustituye $- 0.5$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 0.5$ es una raíz del polinomio.

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Paso 2.1.1.3.1

Sustituye $- 0.5$ en el polinomio.

$24 {(- 0.5)}^{3} - 10 {(- 0.5)}^{2} - 7 \cdot - 0.5 + 2$

Paso 2.1.1.3.2

Eleva $- 0.5$ a la potencia de $3$ .

$24 \cdot - 0.125 - 10 {(- 0.5)}^{2} - 7 \cdot - 0.5 + 2$

Paso 2.1.1.3.3

Multiplica $24$ por $- 0.125$ .

$- 3 - 10 {(- 0.5)}^{2} - 7 \cdot - 0.5 + 2$

Paso 2.1.1.3.4

Eleva $- 0.5$ a la potencia de $2$ .

$- 3 - 10 \cdot 0.25 - 7 \cdot - 0.5 + 2$

Paso 2.1.1.3.5

Multiplica $- 10$ por $0.25$ .

$- 3 - 2.5 - 7 \cdot - 0.5 + 2$

Paso 2.1.1.3.6

Resta $2.5$ de $- 3$ .

$- 5.5 - 7 \cdot - 0.5 + 2$

Paso 2.1.1.3.7

Multiplica $- 7$ por $- 0.5$ .

$- 5.5 + 3.5 + 2$

Paso 2.1.1.3.8

Suma $- 5.5$ y $3.5$ .

$- 2 + 2$

Paso 2.1.1.3.9

Suma $- 2$ y $2$ .

$0$

Paso 2.1.1.4

Como $- 0.5$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $2 x + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{24 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x + 2}{2 x + 1}$

Paso 2.1.1.5

Divide $24 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x + 2$ por $2 x + 1$ .

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Paso 2.1.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$2 x$

$1$

$24 x^{3}$

$10 x^{2}$

$7 x$

$2$

Paso 2.1.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $24 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

					$12 x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$24 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$

Paso 2.1.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$12 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$24 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			+	$24 x^{3}$	+	$12 x^{2}$

Paso 2.1.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $24 x^{3} + 12 x^{2}$ .

				$12 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$24 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$24 x^{3}$	-	$12 x^{2}$

Paso 2.1.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$12 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$24 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$24 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$

Paso 2.1.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$12 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$24 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$24 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	-	$7 x$

Paso 2.1.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 22 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

				$12 x^{2}$	-	$11 x$
$2 x$	+	$1$		$24 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$24 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	-	$7 x$

Paso 2.1.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$12 x^{2}$	-	$11 x$
$2 x$	+	$1$		$24 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$24 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$22 x^{2}$	-	$11 x$

Paso 2.1.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 22 x^{2} - 11 x$ .

				$12 x^{2}$	-	$11 x$
$2 x$	+	$1$		$24 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$24 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$22 x^{2}$	+	$11 x$

Paso 2.1.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$12 x^{2}$	-	$11 x$
$2 x$	+	$1$		$24 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$24 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$22 x^{2}$	+	$11 x$
							+	$4 x$

Paso 2.1.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$12 x^{2}$	-	$11 x$
$2 x$	+	$1$		$24 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$24 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$22 x^{2}$	+	$11 x$
							+	$4 x$	+	$2$

Paso 2.1.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $4 x$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

				$12 x^{2}$	-	$11 x$	+	$2$
$2 x$	+	$1$		$24 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$24 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$22 x^{2}$	+	$11 x$
							+	$4 x$	+	$2$

Paso 2.1.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$12 x^{2}$	-	$11 x$	+	$2$
$2 x$	+	$1$		$24 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$24 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$22 x^{2}$	+	$11 x$
							+	$4 x$	+	$2$
							+	$4 x$	+	$2$

Paso 2.1.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $4 x + 2$ .

				$12 x^{2}$	-	$11 x$	+	$2$
$2 x$	+	$1$		$24 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$24 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$22 x^{2}$	+	$11 x$
							+	$4 x$	+	$2$
							-	$4 x$	-	$2$

Paso 2.1.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$12 x^{2}$	-	$11 x$	+	$2$
$2 x$	+	$1$		$24 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$24 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$22 x^{2}$	+	$11 x$
							+	$4 x$	+	$2$
							-	$4 x$	-	$2$
										$0$

Paso 2.1.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$12 x^{2} - 11 x + 2$

Paso 2.1.1.6

Escribe $24 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x + 2$ como un conjunto de factores.

$(2 x + 1) (12 x^{2} - 11 x + 2) = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 12 \cdot 2 = 24$ y cuya suma es $b = - 11$ .

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Paso 2.1.2.1.1.1

Factoriza $- 11$ de $- 11 x$ .

$(2 x + 1) (12 x^{2} - 11 x + 2) = 0$

Paso 2.1.2.1.1.2

Reescribe $- 11$ como $- 3$ más $- 8$

$(2 x + 1) (12 x^{2} + (- 3 - 8) x + 2) = 0$

Paso 2.1.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 x + 1) (12 x^{2} - 3 x - 8 x + 2) = 0$

Paso 2.1.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(2 x + 1) ((12 x^{2} - 3 x) - 8 x + 2) = 0$

Paso 2.1.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(2 x + 1) (3 x (4 x - 1) - 2 (4 x - 1)) = 0$

Paso 2.1.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 x - 1$ .

$(2 x + 1) ((4 x - 1) (3 x - 2)) = 0$

Paso 2.1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(2 x + 1) (4 x - 1) (3 x - 2) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$4 x - 1 = 0$

$3 x - 2 = 0$

Paso 2.3

Establece $2 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $2 x + 1$ igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Paso 2.3.2

Resuelve $2 x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 1$

Paso 2.3.2.2

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.3.2.2.1

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 2.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 2.3.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Paso 2.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{2}$

Paso 2.4

Establece $4 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $4 x - 1$ igual a $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $4 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x = 1$

Paso 2.4.2.2

Divide cada término en $4 x = 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 2.4.2.2.1

Divide cada término en $4 x = 1$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 2.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 2.4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Paso 2.5

Establece $3 x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $3 x - 2$ igual a $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $3 x - 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 2$

Paso 2.5.2.2

Divide cada término en $3 x = 2$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.5.2.2.1

Divide cada término en $3 x = 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Paso 2.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Paso 2.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 x + 1) (4 x - 1) (3 x - 2) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{2}{3}$

Paso 3