Precálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{3} \csc (x) + 2$

Paso 1

Establece $\sqrt{3} \csc (x) + 2$ igual a $0$ .

$\sqrt{3} \csc (x) + 2 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{3} \csc (x) = - 2$

Paso 2.2

Divide cada término en $\sqrt{3} \csc (x) = - 2$ por $\sqrt{3}$ y simplifica.

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Paso 2.2.1

Divide cada término en $\sqrt{3} \csc (x) = - 2$ por $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} \csc (x)}{\sqrt{3}} = \frac{- 2}{\sqrt{3}}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común de $\sqrt{3}$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{3} \csc (x)}{\sqrt{3}} = \frac{- 2}{\sqrt{3}}$

Paso 2.2.2.1.2

Divide $\csc (x)$ por $1$ .

$\csc (x) = \frac{- 2}{\sqrt{3}}$

Paso 2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\csc (x) = - \frac{2}{\sqrt{3}}$

Paso 2.2.3.2

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = - (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Paso 2.2.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.2.3.3.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 2.2.3.3.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 2.2.3.3.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 2.2.3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 2.2.3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 2.2.3.3.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 2.2.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.2.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.2.3.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.2.3.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.2.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 2.2.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 2.3

Calcula la inversa de la cosecante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la cosecante.

$x = arccsc (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Paso 2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.1

El valor exacto de $arccsc (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ es $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Paso 2.5

La cosecante es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Paso 2.6

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 2.6.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Paso 2.6.2

El ángulo resultante de $\frac{4 π}{3}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Paso 2.7

Obtén el período de $\csc (x)$ .

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Paso 2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 2.8

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 2.8.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{3}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Paso 2.8.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 2.8.3

Combina fracciones.

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Paso 2.8.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 2.8.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 2.8.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.8.4.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Paso 2.8.4.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Paso 2.8.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{5 π}{3}$

Paso 2.9

El período de la función $\csc (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3