Precálculo Ejemplos

$\frac{6 x}{x^{2} + 6 x + 9} + \frac{7}{x^{2} + 5 x + 6}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.1.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{6 x}{x^{2} + 6 x + 3^{2}} + \frac{7}{x^{2} + 5 x + 6}$

Paso 1.1.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Paso 1.1.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{6 x}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}} + \frac{7}{x^{2} + 5 x + 6}$

Paso 1.1.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$\frac{6 x}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{7}{x^{2} + 5 x + 6}$

Paso 1.2

Factoriza $x^{2} + 5 x + 6$ con el método AC.

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Paso 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $6$ y cuya suma es $5$ .

$2, 3$

Paso 1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{6 x}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{7}{(x + 2) (x + 3)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{6 x}{{(x + 3)}^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{6 x}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} + \frac{7}{(x + 2) (x + 3)}$

Paso 3

Para escribir $\frac{7}{(x + 2) (x + 3)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{6 x}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} + \frac{7}{(x + 2) (x + 3)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + 2) {(x + 3)}^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{6 x}{{(x + 3)}^{2}}$ por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{6 x (x + 2)}{{(x + 3)}^{2} (x + 2)} + \frac{7}{(x + 2) (x + 3)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{7}{(x + 2) (x + 3)}$ por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{6 x (x + 2)}{{(x + 3)}^{2} (x + 2)} + \frac{7 (x + 3)}{(x + 2) (x + 3) (x + 3)}$

Paso 4.3

Eleva $x + 3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{6 x (x + 2)}{{(x + 3)}^{2} (x + 2)} + \frac{7 (x + 3)}{(x + 2) ({(x + 3)}^{1} (x + 3))}$

Paso 4.4

Eleva $x + 3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{6 x (x + 2)}{{(x + 3)}^{2} (x + 2)} + \frac{7 (x + 3)}{(x + 2) ({(x + 3)}^{1} {(x + 3)}^{1})}$

Paso 4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{6 x (x + 2)}{{(x + 3)}^{2} (x + 2)} + \frac{7 (x + 3)}{(x + 2) {(x + 3)}^{1 + 1}}$

Paso 4.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{6 x (x + 2)}{{(x + 3)}^{2} (x + 2)} + \frac{7 (x + 3)}{(x + 2) {(x + 3)}^{2}}$

Paso 4.7

Reordena los factores de $(x + 2) {(x + 3)}^{2}$ .

$\frac{6 x (x + 2)}{{(x + 3)}^{2} (x + 2)} + \frac{7 (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x + 2)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{6 x (x + 2) + 7 (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x + 2)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 x \cdot x + 6 x \cdot 2 + 7 (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x + 2)}$

Paso 6.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{6 (x \cdot x) + 6 x \cdot 2 + 7 (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x + 2)}$

Paso 6.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{6 x^{2} + 6 x \cdot 2 + 7 (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x + 2)}$

Paso 6.3

Multiplica $2$ por $6$ .

$\frac{6 x^{2} + 12 x + 7 (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x + 2)}$

Paso 6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 x^{2} + 12 x + 7 x + 7 \cdot 3}{{(x + 3)}^{2} (x + 2)}$

Paso 6.5

Multiplica $7$ por $3$ .

$\frac{6 x^{2} + 12 x + 7 x + 21}{{(x + 3)}^{2} (x + 2)}$

Paso 6.6

Suma $12 x$ y $7 x$ .

$\frac{6 x^{2} + 19 x + 21}{{(x + 3)}^{2} (x + 2)}$