Precálculo Ejemplos

$\log (\frac{x^{2} \sqrt{1 - x}}{10 {(x + 1)}^{3}})$

Paso 1

Reescribe $\log (\frac{x^{2} \sqrt{1 - x}}{10 {(x + 1)}^{3}})$ como $\log (x^{2} \sqrt{1 - x}) - \log (10 {(x + 1)}^{3})$ .

$\log (x^{2} \sqrt{1 - x}) - \log (10 {(x + 1)}^{3})$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 - x}$ como ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\log (x^{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) - \log (10 {(x + 1)}^{3})$

Paso 3

Reescribe $\log (x^{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$ como $\log (x^{2}) + \log ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\log (x^{2}) + \log ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) - \log (10 {(x + 1)}^{3})$

Paso 4

Expande $\log (x^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$2 \log (x) + \log ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) - \log (10 {(x + 1)}^{3})$

Paso 5

Expande $\log ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{2}$ fuera del logaritmo.

$2 \log (x) + \frac{1}{2} \log (1 - x) - \log (10 {(x + 1)}^{3})$

Paso 6

Reescribe $\log (10 {(x + 1)}^{3})$ como $\log (10) + \log ({(x + 1)}^{3})$ .

$2 \log (x) + \frac{1}{2} \log (1 - x) - (\log (10) + \log ({(x + 1)}^{3}))$

Paso 7

Expande $\log ({(x + 1)}^{3})$ ; para ello, mueve $3$ fuera del logaritmo.

$2 \log (x) + \frac{1}{2} \log (1 - x) - (\log (10) + 3 \log (x + 1))$

Paso 8

El logaritmo en base $10$ de $10$ es $1$ .

$2 \log (x) + \frac{1}{2} \log (1 - x) - (1 + 3 \log (x + 1))$

Paso 9

Simplifica cada término.

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Paso 9.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\log (1 - x)$ .

$2 \log (x) + \frac{\log (1 - x)}{2} - (1 + 3 \log (x + 1))$

Paso 9.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \log (x) + \frac{\log (1 - x)}{2} - 1 \cdot 1 - (3 \log (x + 1))$

Paso 9.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 \log (x) + \frac{\log (1 - x)}{2} - 1 - (3 \log (x + 1))$

Paso 9.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$2 \log (x) + \frac{\log (1 - x)}{2} - 1 - 3 \log (x + 1)$

Paso 10

Para escribir $2 \log (x)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 \log (x) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\log (1 - x)}{2} - 1 - 3 \log (x + 1)$

Paso 11

Combina $2 \log (x)$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \log (x) \cdot 2}{2} + \frac{\log (1 - x)}{2} - 1 - 3 \log (x + 1)$

Paso 12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 \log (x) \cdot 2 + \log (1 - x)}{2} - 1 - 3 \log (x + 1)$

Paso 13

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 \log (x) + \log (1 - x)}{2} - 1 - 3 \log (x + 1)$

Paso 14

Para escribir $- 3 \log (x + 1)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 \log (x) + \log (1 - x)}{2} - 3 \log (x + 1) \cdot \frac{2}{2} - 1$

Paso 15

Combina $- 3 \log (x + 1)$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 \log (x) + \log (1 - x)}{2} + \frac{- 3 \log (x + 1) \cdot 2}{2} - 1$

Paso 16

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 \log (x) + \log (1 - x) - 3 \log (x + 1) \cdot 2}{2} - 1$

Paso 17

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\frac{4 \log (x) + \log (1 - x) - 6 \log (x + 1)}{2} - 1$