Precálculo Ejemplos

$\frac{35}{2 x (3 x + 7)}$

Paso 1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{3 x + 7}$

Paso 1.2

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $2 x (3 x + 7)$ .

$\frac{35 (2 x (3 x + 7))}{2 x (3 x + 7)} = \frac{A (2 x (3 x + 7))}{x} + \frac{(B) (2 x (3 x + 7))}{3 x + 7}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{35 (2 x (3 x + 7))}{2 x (3 x + 7)} = \frac{A (2 x (3 x + 7))}{x} + \frac{(B) (2 x (3 x + 7))}{3 x + 7}$

Paso 1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{35 (x (3 x + 7))}{x (3 x + 7)} = \frac{A (2 x (3 x + 7))}{x} + \frac{(B) (2 x (3 x + 7))}{3 x + 7}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{35 (x (3 x + 7))}{x (3 x + 7)} = \frac{A (2 x (3 x + 7))}{x} + \frac{(B) (2 x (3 x + 7))}{3 x + 7}$

Paso 1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{35 (3 x + 7)}{3 x + 7} = \frac{A (2 x (3 x + 7))}{x} + \frac{(B) (2 x (3 x + 7))}{3 x + 7}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $3 x + 7$ .

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{35 (3 x + 7)}{3 x + 7} = \frac{A (2 x (3 x + 7))}{x} + \frac{(B) (2 x (3 x + 7))}{3 x + 7}$

Paso 1.5.2

Divide $35$ por $1$ .

$35 = \frac{A (2 x (3 x + 7))}{x} + \frac{(B) (2 x (3 x + 7))}{3 x + 7}$

Paso 1.6

Simplifica cada término.

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Paso 1.6.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.6.1.1

Cancela el factor común.

$35 = \frac{A (2 x (3 x + 7))}{x} + \frac{(B) (2 x (3 x + 7))}{3 x + 7}$

Paso 1.6.1.2

Divide $A (2 (3 x + 7))$ por $1$ .

$35 = A (2 (3 x + 7)) + \frac{(B) (2 x (3 x + 7))}{3 x + 7}$

Paso 1.6.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$35 = 2 A (3 x + 7) + \frac{(B) (2 x (3 x + 7))}{3 x + 7}$

Paso 1.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$35 = 2 A (3 x) + 2 A \cdot 7 + \frac{(B) (2 x (3 x + 7))}{3 x + 7}$

Paso 1.6.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$35 = 2 \cdot (3 A x) + 2 A \cdot 7 + \frac{(B) (2 x (3 x + 7))}{3 x + 7}$

Paso 1.6.5

Multiplica $7$ por $2$ .

$35 = 2 \cdot (3 A x) + 14 A + \frac{(B) (2 x (3 x + 7))}{3 x + 7}$

Paso 1.6.6

Multiplica $2$ por $3$ .

$35 = 6 A x + 14 A + \frac{(B) (2 x (3 x + 7))}{3 x + 7}$

Paso 1.6.7

Cancela el factor común de $3 x + 7$ .

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Paso 1.6.7.1

Cancela el factor común.

$35 = 6 A x + 14 A + \frac{B (2 x (3 x + 7))}{3 x + 7}$

Paso 1.6.7.2

Divide $(B) (2 x)$ por $1$ .

$35 = 6 A x + 14 A + (B) (2 x)$

Paso 1.6.8

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$35 = 6 A x + 14 A + 2 B x$

Paso 1.7

Reordena.

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Paso 1.7.1

Mueve $A$ .

$35 = 6 x A + 14 A + 2 B x$

Paso 1.7.2

Mueve $B$ .

$35 = 6 x A + 14 A + 2 x B$

Paso 1.7.3

Mueve $14 A$ .

$35 = 6 x A + 2 x B + 14 A$

Paso 2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = 6 A + 2 B$

Paso 2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$35 = 14 A$

Paso 2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = 6 A + 2 B$

$35 = 14 A$

$0 = 6 A + 2 B$

$35 = 14 A$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Resuelve $A$ en $35 = 14 A$ .

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Paso 3.1.1

Reescribe la ecuación como $14 A = 35$ .

$14 A = 35$

$0 = 6 A + 2 B$

Paso 3.1.2

Divide cada término en $14 A = 35$ por $14$ y simplifica.

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Paso 3.1.2.1

Divide cada término en $14 A = 35$ por $14$ .

$\frac{14 A}{14} = \frac{35}{14}$

$0 = 6 A + 2 B$

Paso 3.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.2.1

Cancela el factor común de $14$ .

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Paso 3.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{14 A}{14} = \frac{35}{14}$

$0 = 6 A + 2 B$

Paso 3.1.2.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{35}{14}$

$0 = 6 A + 2 B$

$A = \frac{35}{14}$

$0 = 6 A + 2 B$

$A = \frac{35}{14}$

$0 = 6 A + 2 B$

Paso 3.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.2.3.1

Cancela el factor común de $35$ y $14$ .

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Paso 3.1.2.3.1.1

Factoriza $7$ de $35$ .

$A = \frac{7 (5)}{14}$

$0 = 6 A + 2 B$

Paso 3.1.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.2.3.1.2.1

Factoriza $7$ de $14$ .

$A = \frac{7 \cdot 5}{7 \cdot 2}$

$0 = 6 A + 2 B$

Paso 3.1.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$A = \frac{7 \cdot 5}{7 \cdot 2}$

$0 = 6 A + 2 B$

Paso 3.1.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$A = \frac{5}{2}$

$0 = 6 A + 2 B$

$A = \frac{5}{2}$

$0 = 6 A + 2 B$

$A = \frac{5}{2}$

$0 = 6 A + 2 B$

$A = \frac{5}{2}$

$0 = 6 A + 2 B$

$A = \frac{5}{2}$

$0 = 6 A + 2 B$

$A = \frac{5}{2}$

$0 = 6 A + 2 B$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $\frac{5}{2}$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = 6 A + 2 B$ por $\frac{5}{2}$ .

$0 = 6 (\frac{5}{2}) + 2 B$

$A = \frac{5}{2}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.1.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$0 = 2 (3) (\frac{5}{2}) + 2 B$

$A = \frac{5}{2}$

Paso 3.2.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$0 = 2 \cdot (3 (\frac{5}{2})) + 2 B$

$A = \frac{5}{2}$

Paso 3.2.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$0 = 3 \cdot 5 + 2 B$

$A = \frac{5}{2}$

$0 = 3 \cdot 5 + 2 B$

$A = \frac{5}{2}$

Paso 3.2.2.1.2

Multiplica $3$ por $5$ .

$0 = 15 + 2 B$

$A = \frac{5}{2}$

$0 = 15 + 2 B$

$A = \frac{5}{2}$

$0 = 15 + 2 B$

$A = \frac{5}{2}$

$0 = 15 + 2 B$

$A = \frac{5}{2}$

Paso 3.3

Resuelve $B$ en $0 = 15 + 2 B$ .

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $15 + 2 B = 0$ .

$15 + 2 B = 0$

$A = \frac{5}{2}$

Paso 3.3.2

Resta $15$ de ambos lados de la ecuación.

$2 B = - 15$

$A = \frac{5}{2}$

Paso 3.3.3

Divide cada término en $2 B = - 15$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.3.3.1

Divide cada término en $2 B = - 15$ por $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{- 15}{2}$

$A = \frac{5}{2}$

Paso 3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 B}{2} = \frac{- 15}{2}$

$A = \frac{5}{2}$

Paso 3.3.3.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 15}{2}$

$A = \frac{5}{2}$

$B = \frac{- 15}{2}$

$A = \frac{5}{2}$

$B = \frac{- 15}{2}$

$A = \frac{5}{2}$

Paso 3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$B = - \frac{15}{2}$

$A = \frac{5}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

$A = \frac{5}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

$A = \frac{5}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

$A = \frac{5}{2}$

Paso 3.4

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$B = - \frac{15}{2} A = \frac{5}{2}$

Paso 3.5

Enumera todas las soluciones.

$B = - \frac{15}{2}, A = \frac{5}{2}$

Paso 4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x} + \frac{B}{3 x + 7}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{\frac{5}{2}}{x} + \frac{- \frac{15}{2}}{3 x + 7}$