Precálculo Ejemplos

$2 y^{2} + x y = 5$ , $4 y + x = 7$

Paso 1

Resta $4 y$ de ambos lados de la ecuación.

$x = 7 - 4 y$

$2 y^{2} + x y = 5$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $7 - 4 y$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $2 y^{2} + x y = 5$ por $7 - 4 y$ .

$2 y^{2} + (7 - 4 y) \cdot y = 5$

$x = 7 - 4 y$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $2 y^{2} + (7 - 4 y) \cdot y$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y^{2} + 7 y - 4 y \cdot y = 5$

$x = 7 - 4 y$

Paso 2.2.1.1.2

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.1.1.2.1

Mueve $y$ .

$2 y^{2} + 7 y - 4 (y \cdot y) = 5$

$x = 7 - 4 y$

Paso 2.2.1.1.2.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$2 y^{2} + 7 y - 4 y^{2} = 5$

$x = 7 - 4 y$

$2 y^{2} + 7 y - 4 y^{2} = 5$

$x = 7 - 4 y$

$2 y^{2} + 7 y - 4 y^{2} = 5$

$x = 7 - 4 y$

Paso 2.2.1.2

Resta $4 y^{2}$ de $2 y^{2}$ .

$- 2 y^{2} + 7 y = 5$

$x = 7 - 4 y$

$- 2 y^{2} + 7 y = 5$

$x = 7 - 4 y$

$- 2 y^{2} + 7 y = 5$

$x = 7 - 4 y$

$- 2 y^{2} + 7 y = 5$

$x = 7 - 4 y$

Paso 3

Resuelve $y$ en $- 2 y^{2} + 7 y = 5$ .

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Paso 3.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 y^{2} + 7 y - 5 = 0$

$x = 7 - 4 y$

Paso 3.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Factoriza $- 1$ de $- 2 y^{2} + 7 y - 5$ .

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Paso 3.2.1.1

Factoriza $- 1$ de $- 2 y^{2}$ .

$- (2 y^{2}) + 7 y - 5 = 0$

$x = 7 - 4 y$

Paso 3.2.1.2

Factoriza $- 1$ de $7 y$ .

$- (2 y^{2}) - (- 7 y) - 5 = 0$

$x = 7 - 4 y$

Paso 3.2.1.3

Reescribe $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$- (2 y^{2}) - (- 7 y) - 1 \cdot 5 = 0$

$x = 7 - 4 y$

Paso 3.2.1.4

Factoriza $- 1$ de $- (2 y^{2}) - (- 7 y)$ .

$- (2 y^{2} - 7 y) - 1 \cdot 5 = 0$

$x = 7 - 4 y$

Paso 3.2.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (2 y^{2} - 7 y) - 1 (5)$ .

$- (2 y^{2} - 7 y + 5) = 0$

$x = 7 - 4 y$

$- (2 y^{2} - 7 y + 5) = 0$

$x = 7 - 4 y$

Paso 3.2.2

Factoriza.

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Paso 3.2.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.2.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 5 = 10$ y cuya suma es $b = - 7$ .

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Paso 3.2.2.1.1.1

Factoriza $- 7$ de $- 7 y$ .

$- (2 y^{2} - 7 y + 5) = 0$

$x = 7 - 4 y$

Paso 3.2.2.1.1.2

Reescribe $- 7$ como $- 2$ más $- 5$

$- (2 y^{2} + (- 2 - 5) y + 5) = 0$

$x = 7 - 4 y$

Paso 3.2.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- (2 y^{2} - 2 y - 5 y + 5) = 0$

$x = 7 - 4 y$

$- (2 y^{2} - 2 y - 5 y + 5) = 0$

$x = 7 - 4 y$

Paso 3.2.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- ((2 y^{2} - 2 y) - 5 y + 5) = 0$

$x = 7 - 4 y$

Paso 3.2.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- (2 y (y - 1) - 5 (y - 1)) = 0$

$x = 7 - 4 y$

$- (2 y (y - 1) - 5 (y - 1)) = 0$

$x = 7 - 4 y$

Paso 3.2.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $y - 1$ .

$- ((y - 1) (2 y - 5)) = 0$

$x = 7 - 4 y$

$- ((y - 1) (2 y - 5)) = 0$

$x = 7 - 4 y$

Paso 3.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (y - 1) (2 y - 5) = 0$

$x = 7 - 4 y$

$- (y - 1) (2 y - 5) = 0$

$x = 7 - 4 y$

$- (y - 1) (2 y - 5) = 0$

$x = 7 - 4 y$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$y - 1 = 0$

$2 y - 5 = 0$

$x = 7 - 4 y$

Paso 3.4

Establece $y - 1$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 3.4.1

Establece $y - 1$ igual a $0$ .

$y - 1 = 0$

$x = 7 - 4 y$

Paso 3.4.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 1$

$x = 7 - 4 y$

$y = 1$

$x = 7 - 4 y$

Paso 3.5

Establece $2 y - 5$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 3.5.1

Establece $2 y - 5$ igual a $0$ .

$2 y - 5 = 0$

$x = 7 - 4 y$

Paso 3.5.2

Resuelve $2 y - 5 = 0$ en $y$ .

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Paso 3.5.2.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$2 y = 5$

$x = 7 - 4 y$

Paso 3.5.2.2

Divide cada término en $2 y = 5$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.2.1

Divide cada término en $2 y = 5$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{5}{2}$

$x = 7 - 4 y$

Paso 3.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{5}{2}$

$x = 7 - 4 y$

Paso 3.5.2.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{5}{2}$

$x = 7 - 4 y$

$y = \frac{5}{2}$

$x = 7 - 4 y$

$y = \frac{5}{2}$

$x = 7 - 4 y$

$y = \frac{5}{2}$

$x = 7 - 4 y$

$y = \frac{5}{2}$

$x = 7 - 4 y$

$y = \frac{5}{2}$

$x = 7 - 4 y$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (y - 1) (2 y - 5) = 0$ verdadera.

$y = 1, \frac{5}{2}$

$x = 7 - 4 y$

$y = 1, \frac{5}{2}$

$x = 7 - 4 y$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $1$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = 7 - 4 y$ por $1$ .

$x = 7 - 4 \cdot 1$

$y = 1$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $7 - 4 \cdot 1$ .

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = 7 - 4$

$y = 1$

Paso 4.2.1.2

Resta $4$ de $7$ .

$x = 3$

$y = 1$

$x = 3$

$y = 1$

$x = 3$

$y = 1$

$x = 3$

$y = 1$

Paso 5

Reemplaza todos los casos de $y$ por $\frac{5}{2}$ en cada ecuación.

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Paso 5.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = 7 - 4 y$ por $\frac{5}{2}$ .

$x = 7 - 4 (\frac{5}{2})$

$y = \frac{5}{2}$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Simplifica $7 - 4 (\frac{5}{2})$ .

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Paso 5.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1.1.1.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$x = 7 + 2 (- 2) (\frac{5}{2})$

$y = \frac{5}{2}$

Paso 5.2.1.1.1.2

Cancela el factor común.

$x = 7 + 2 \cdot (- 2 (\frac{5}{2}))$

$y = \frac{5}{2}$

Paso 5.2.1.1.1.3

Reescribe la expresión.

$x = 7 - 2 \cdot 5$

$y = \frac{5}{2}$

$x = 7 - 2 \cdot 5$

$y = \frac{5}{2}$

Paso 5.2.1.1.2

Multiplica $- 2$ por $5$ .

$x = 7 - 10$

$y = \frac{5}{2}$

$x = 7 - 10$

$y = \frac{5}{2}$

Paso 5.2.1.2

Resta $10$ de $7$ .

$x = - 3$

$y = \frac{5}{2}$

$x = - 3$

$y = \frac{5}{2}$

$x = - 3$

$y = \frac{5}{2}$

$x = - 3$

$y = \frac{5}{2}$

Paso 6

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(3, 1)$

$(- 3, \frac{5}{2})$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(3, 1), (- 3, \frac{5}{2})$

Forma de la ecuación:

$x = 3, y = 1$

$x = - 3, y = \frac{5}{2}$

Paso 8