Precálculo Ejemplos

$3 x^{2} + 3 y^{2} - 24 x + 12 y - 15 = 0$

Paso 1

Obtén las intersecciones con x.

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Paso 1.1

Para obtener la(s) intersección(es) con x, sustituye $0$ por $y$ y resuelve para $x$ .

$3 x^{2} + 3 {(0)}^{2} - 24 x + 12 (0) - 15 = 0$

Paso 1.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 1.2.1

Simplifica $3 x^{2} + 3 {(0)}^{2} - 24 x + 12 (0) - 15$ .

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Paso 1.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$3 x^{2} + 3 \cdot 0 - 24 x + 12 (0) - 15 = 0$

Paso 1.2.1.1.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$3 x^{2} + 0 - 24 x + 12 (0) - 15 = 0$

Paso 1.2.1.1.3

Multiplica $12$ por $0$ .

$3 x^{2} + 0 - 24 x + 0 - 15 = 0$

Paso 1.2.1.2

Combina los términos opuestos en $3 x^{2} + 0 - 24 x + 0 - 15$ .

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Paso 1.2.1.2.1

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$3 x^{2} - 24 x + 0 - 15 = 0$

Paso 1.2.1.2.2

Suma $3 x^{2} - 24 x$ y $0$ .

$3 x^{2} - 24 x - 15 = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza $3$ de $3 x^{2} - 24 x - 15$ .

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Paso 1.2.2.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 24 x - 15 = 0$

Paso 1.2.2.2

Factoriza $3$ de $- 24 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 8 x) - 15 = 0$

Paso 1.2.2.3

Factoriza $3$ de $- 15$ .

$3 x^{2} + 3 (- 8 x) + 3 \cdot - 5 = 0$

Paso 1.2.2.4

Factoriza $3$ de $3 x^{2} + 3 (- 8 x)$ .

$3 (x^{2} - 8 x) + 3 \cdot - 5 = 0$

Paso 1.2.2.5

Factoriza $3$ de $3 (x^{2} - 8 x) + 3 \cdot - 5$ .

$3 (x^{2} - 8 x - 5) = 0$

Paso 1.2.3

Divide cada término en $3 (x^{2} - 8 x - 5) = 0$ por $3$ y simplifica.

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Paso 1.2.3.1

Divide cada término en $3 (x^{2} - 8 x - 5) = 0$ por $3$ .

$\frac{3 (x^{2} - 8 x - 5)}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (x^{2} - 8 x - 5)}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Divide $x^{2} - 8 x - 5$ por $1$ .

$x^{2} - 8 x - 5 = \frac{0}{3}$

Paso 1.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.3.1

Divide $0$ por $3$ .

$x^{2} - 8 x - 5 = 0$

Paso 1.2.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 8$ y $c = - 5$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 5)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6

Simplifica.

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Paso 1.2.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.6.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

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Paso 1.2.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 5$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 20}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.1.3

Suma $64$ y $20$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.1.4

Reescribe $84$ como $2^{2} \cdot 21$ .

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Paso 1.2.6.1.4.1

Factoriza $4$ de $84$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$

Paso 1.2.6.3

Simplifica $\frac{8 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{21}$

Paso 1.2.7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 1.2.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.7.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

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Paso 1.2.7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 5$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 20}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.1.3

Suma $64$ y $20$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.1.4

Reescribe $84$ como $2^{2} \cdot 21$ .

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Paso 1.2.7.1.4.1

Factoriza $4$ de $84$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$

Paso 1.2.7.3

Simplifica $\frac{8 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{21}$

Paso 1.2.7.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = 4 + \sqrt{21}$

Paso 1.2.8

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 1.2.8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.8.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.8.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

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Paso 1.2.8.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.8.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 5$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 20}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.8.1.3

Suma $64$ y $20$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.8.1.4

Reescribe $84$ como $2^{2} \cdot 21$ .

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Paso 1.2.8.1.4.1

Factoriza $4$ de $84$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.8.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.8.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.8.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$

Paso 1.2.8.3

Simplifica $\frac{8 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{21}$

Paso 1.2.8.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = 4 - \sqrt{21}$

Paso 1.2.9

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 4 + \sqrt{21}, 4 - \sqrt{21}$

Paso 1.3

Intersección(es) con x en forma de punto.

Intersección(es) con x: $(4 + \sqrt{21}, 0), (4 - \sqrt{21}, 0)$

Paso 2

Obtén las intersecciones con y.

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Paso 2.1

Para obtener la(s) intersección(es) con y, sustituye $0$ por $x$ y resuelve para $y$ .

$3 {(0)}^{2} + 3 y^{2} - 24 \cdot 0 + 12 y - 15 = 0$

Paso 2.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.2.1

Simplifica $3 {(0)}^{2} + 3 y^{2} - 24 \cdot 0 + 12 y - 15$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$3 \cdot 0 + 3 y^{2} - 24 \cdot 0 + 12 y - 15 = 0$

Paso 2.2.1.1.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$0 + 3 y^{2} - 24 \cdot 0 + 12 y - 15 = 0$

Paso 2.2.1.1.3

Multiplica $- 24$ por $0$ .

$0 + 3 y^{2} + 0 + 12 y - 15 = 0$

Paso 2.2.1.2

Combina los términos opuestos en $0 + 3 y^{2} + 0 + 12 y - 15$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Suma $0$ y $3 y^{2}$ .

$3 y^{2} + 0 + 12 y - 15 = 0$

Paso 2.2.1.2.2

Suma $3 y^{2}$ y $0$ .

$3 y^{2} + 12 y - 15 = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $3$ de $3 y^{2} + 12 y - 15$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Factoriza $3$ de $3 y^{2}$ .

$3 (y^{2}) + 12 y - 15 = 0$

Paso 2.2.2.1.2

Factoriza $3$ de $12 y$ .

$3 (y^{2}) + 3 (4 y) - 15 = 0$

Paso 2.2.2.1.3

Factoriza $3$ de $- 15$ .

$3 y^{2} + 3 (4 y) + 3 \cdot - 5 = 0$

Paso 2.2.2.1.4

Factoriza $3$ de $3 y^{2} + 3 (4 y)$ .

$3 (y^{2} + 4 y) + 3 \cdot - 5 = 0$

Paso 2.2.2.1.5

Factoriza $3$ de $3 (y^{2} + 4 y) + 3 \cdot - 5$ .

$3 (y^{2} + 4 y - 5) = 0$

Paso 2.2.2.2

Factoriza.

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Paso 2.2.2.2.1

Factoriza $y^{2} + 4 y - 5$ con el método AC.

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Paso 2.2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 5$ y cuya suma es $4$ .

$- 1, 5$

Paso 2.2.2.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$3 ((y - 1) (y + 5)) = 0$

Paso 2.2.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$3 (y - 1) (y + 5) = 0$

Paso 2.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$y - 1 = 0$

$y + 5 = 0$

Paso 2.2.4

Establece $y - 1$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 2.2.4.1

Establece $y - 1$ igual a $0$ .

$y - 1 = 0$

Paso 2.2.4.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 1$

Paso 2.2.5

Establece $y + 5$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 2.2.5.1

Establece $y + 5$ igual a $0$ .

$y + 5 = 0$

Paso 2.2.5.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - 5$

Paso 2.2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $3 (y - 1) (y + 5) = 0$ verdadera.

$y = 1, - 5$

Paso 2.3

Intersección(es) con y en forma de punto.

Intersección(es) con y: $(0, 1), (0, - 5)$

Paso 3

Enumera las intersecciones.

Intersección(es) con x: $(4 + \sqrt{21}, 0), (4 - \sqrt{21}, 0)$

Intersección(es) con y: $(0, 1), (0, - 5)$

Paso 4