Precálculo Ejemplos

${(x - e)}^{2} = 4 e (y - e)$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Aísla $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Reescribe la ecuación como $4 e (y - e) = {(x - e)}^{2}$ .

$4 e (y - e) = {(x - e)}^{2}$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $4 e (y - e) = {(x - e)}^{2}$ por $4 e$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $4 e (y - e) = {(x - e)}^{2}$ por $4 e$ .

$\frac{4 e (y - e)}{4 e} = \frac{{(x - e)}^{2}}{4 e}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 e (y - e)}{4 e} = \frac{{(x - e)}^{2}}{4 e}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{e (y - e)}{e} = \frac{{(x - e)}^{2}}{4 e}$

Paso 1.1.2.2.2

Cancela el factor común de $e$ .

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Paso 1.1.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{e (y - e)}{e} = \frac{{(x - e)}^{2}}{4 e}$

Paso 1.1.2.2.2.2

Divide $y - e$ por $1$ .

$y - e = \frac{{(x - e)}^{2}}{4 e}$

Paso 1.1.3

Suma $e$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{{(x - e)}^{2}}{4 e} + e$

Paso 1.1.4

Reordena los términos.

$y = \frac{1}{4 e} \cdot {(x - e)}^{2} + e$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $\frac{1}{4 e} \cdot {(x - e)}^{2} + e$ .

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Paso 1.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1.1

Reescribe ${(x - e)}^{2}$ como $(x - e) (x - e)$ .

$\frac{1}{4 e} \cdot ((x - e) (x - e)) + e$

Paso 1.2.1.1.2

Expande $(x - e) (x - e)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{4 e} \cdot (x (x - e) - e (x - e)) + e$

Paso 1.2.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{4 e} \cdot (x \cdot x + x (- e) - e (x - e)) + e$

Paso 1.2.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{4 e} \cdot (x \cdot x + x (- e) - e x - e (- e)) + e$

Paso 1.2.1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.2.1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{1}{4 e} \cdot (x^{2} + x (- e) - e x - e (- e)) + e$

Paso 1.2.1.1.3.1.2

Multiplica $- e (- e)$ .

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Paso 1.2.1.1.3.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{4 e} \cdot (x^{2} + x (- e) - e x + 1 e e) + e$

Paso 1.2.1.1.3.1.2.2

Multiplica $e$ por $1$ .

$\frac{1}{4 e} \cdot (x^{2} + x (- e) - e x + e e) + e$

Paso 1.2.1.1.3.1.2.3

Eleva $e$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{4 e} \cdot (x^{2} + x (- e) - e x + e^{1} e) + e$

Paso 1.2.1.1.3.1.2.4

Eleva $e$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{4 e} \cdot (x^{2} + x (- e) - e x + e^{1} e^{1}) + e$

Paso 1.2.1.1.3.1.2.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{4 e} \cdot (x^{2} + x (- e) - e x + e^{1 + 1}) + e$

Paso 1.2.1.1.3.1.2.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{4 e} \cdot (x^{2} + x (- e) - e x + e^{2}) + e$

Paso 1.2.1.1.3.2

Mueve $e$ .

$\frac{1}{4 e} \cdot (x^{2} - 1 \cdot x e - 1 x e + e^{2}) + e$

Paso 1.2.1.1.3.3

Resta $x e$ de $- 1 \cdot x e$ .

$\frac{1}{4 e} \cdot (x^{2} - 2 x e + e^{2}) + e$

Paso 1.2.1.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{4 e} x^{2} + \frac{1}{4 e} (- 2 x e) + \frac{1}{4 e} e^{2} + e$

Paso 1.2.1.1.5

Simplifica.

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Paso 1.2.1.1.5.1

Combina $\frac{1}{4 e}$ y $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{4 e} + \frac{1}{4 e} (- 2 x e) + \frac{1}{4 e} e^{2} + e$

Paso 1.2.1.1.5.2

Cancela el factor común de $2 e$ .

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Paso 1.2.1.1.5.2.1

Factoriza $2 e$ de $4 e$ .

$\frac{x^{2}}{4 e} + \frac{1}{2 e (2)} (- 2 x e) + \frac{1}{4 e} e^{2} + e$

Paso 1.2.1.1.5.2.2

Factoriza $2 e$ de $- 2 x e$ .

$\frac{x^{2}}{4 e} + \frac{1}{2 e (2)} (2 e (- x)) + \frac{1}{4 e} e^{2} + e$

Paso 1.2.1.1.5.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2}}{4 e} + \frac{1}{2 e \cdot 2} (2 e (- x)) + \frac{1}{4 e} e^{2} + e$

Paso 1.2.1.1.5.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2}}{4 e} + \frac{1}{2} (- x) + \frac{1}{4 e} e^{2} + e$

Paso 1.2.1.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$\frac{x^{2}}{4 e} - \frac{x}{2} + \frac{1}{4 e} e^{2} + e$

Paso 1.2.1.1.5.4

Cancela el factor común de $e$ .

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Paso 1.2.1.1.5.4.1

Factoriza $e$ de $4 e$ .

$\frac{x^{2}}{4 e} - \frac{x}{2} + \frac{1}{e \cdot 4} e^{2} + e$

Paso 1.2.1.1.5.4.2

Factoriza $e$ de $e^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{4 e} - \frac{x}{2} + \frac{1}{e \cdot 4} (e e) + e$

Paso 1.2.1.1.5.4.3

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2}}{4 e} - \frac{x}{2} + \frac{1}{e \cdot 4} (e e) + e$

Paso 1.2.1.1.5.4.4

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2}}{4 e} - \frac{x}{2} + \frac{1}{4} e + e$

Paso 1.2.1.1.5.5

Combina $\frac{1}{4}$ y $e$ .

$\frac{x^{2}}{4 e} - \frac{x}{2} + \frac{e}{4} + e$

Paso 1.2.1.2

Para escribir $e$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x^{2}}{4 e} - \frac{x}{2} + \frac{e}{4} + e \cdot \frac{4}{4}$

Paso 1.2.1.3

Combina $e$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x^{2}}{4 e} - \frac{x}{2} + \frac{e}{4} + \frac{e \cdot 4}{4}$

Paso 1.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2}}{4 e} - \frac{x}{2} + \frac{e + e \cdot 4}{4}$

Paso 1.2.1.5

Suma $e$ y $e \cdot 4$ .

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Paso 1.2.1.5.1

Reordena $e$ y $4$ .

$\frac{x^{2}}{4 e} - \frac{x}{2} + \frac{e + 4 \cdot e}{4}$

Paso 1.2.1.5.2

Suma $e$ y $4 \cdot e$ .

$\frac{x^{2}}{4 e} - \frac{x}{2} + \frac{5 e}{4}$

Paso 1.2.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = \frac{1}{4 e}$

$b = - \frac{1}{2}$

$c = \frac{5 e}{4}$

Paso 1.2.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{1}{2}}{2 \frac{1}{4 e}}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 \frac{1}{4 e}}$

Paso 1.2.4.2.2

Combina $2$ y $\frac{1}{4 e}$ .

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{4 e}}$

Paso 1.2.4.2.3

Reduce la expresión $\frac{2}{4 e}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.2.4.2.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{4 e}}$

Paso 1.2.4.2.3.2

Factoriza $2$ de $4 e$ .

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{2 (2 e)}}$

Paso 1.2.4.2.3.3

Cancela el factor común.

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 (2 e)}}$

Paso 1.2.4.2.3.4

Reescribe la expresión.

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2 e}}$

Paso 1.2.4.2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = - \frac{1}{2} (1 (2 e))$

Paso 1.2.4.2.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.4.2.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$d = \frac{- 1}{2} (1 (2 e))$

Paso 1.2.4.2.5.2

Factoriza $2$ de $1 (2 e)$ .

$d = \frac{- 1}{2} (2 (1 (e)))$

Paso 1.2.4.2.5.3

Cancela el factor común.

$d = \frac{- 1}{2} (2 (1 (e)))$

Paso 1.2.4.2.5.4

Reescribe la expresión.

$d = - (1 (e))$

Paso 1.2.4.2.6

Multiplica $e$ por $1$ .

$d = - e$

Paso 1.2.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{5 e}{4} - \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{4 \frac{1}{4 e}}$

Paso 1.2.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.5.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.5.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$e = \frac{5 e}{4} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}{4 \frac{1}{4 e}}$

Paso 1.2.5.2.1.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{5 e}{4} - \frac{1 {(\frac{1}{2})}^{2}}{4 \frac{1}{4 e}}$

Paso 1.2.5.2.1.1.3

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$e = \frac{5 e}{4} - \frac{1 \frac{1^{2}}{2^{2}}}{4 \frac{1}{4 e}}$

Paso 1.2.5.2.1.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$e = \frac{5 e}{4} - \frac{1 \frac{1}{2^{2}}}{4 \frac{1}{4 e}}$

Paso 1.2.5.2.1.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{5 e}{4} - \frac{1 (\frac{1}{4})}{4 \frac{1}{4 e}}$

Paso 1.2.5.2.1.1.6

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$e = \frac{5 e}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{4 \frac{1}{4 e}}$

Paso 1.2.5.2.1.2

Combina $4$ y $\frac{1}{4 e}$ .

$e = \frac{5 e}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4}{4 e}}$

Paso 1.2.5.2.1.3

Reduce la expresión $\frac{4}{4 e}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.2.5.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$e = \frac{5 e}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4}{4 e}}$

Paso 1.2.5.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$e = \frac{5 e}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{e}}$

Paso 1.2.5.2.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = \frac{5 e}{4} - (\frac{1}{4} e)$

Paso 1.2.5.2.1.5

Combina $\frac{1}{4}$ y $e$ .

$e = \frac{5 e}{4} - \frac{e}{4}$

Paso 1.2.5.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{5 e - e}{4}$

Paso 1.2.5.2.3

Resta $e$ de $5 e$ .

$e = \frac{4 e}{4}$

Paso 1.2.5.2.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.5.2.4.1

Cancela el factor común.

$e = \frac{4 e}{4}$

Paso 1.2.5.2.4.2

Divide $e$ por $1$ .

$e = e$

Paso 1.2.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $\frac{1}{4 e} {(x - e)}^{2} + e$ .

$\frac{1}{4 e} {(x - e)}^{2} + e$

Paso 1.3

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = \frac{1}{4 e} \cdot {(x - e)}^{2} + e$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{1}{4 e}$

$h = e$

$k = e$

Paso 3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(e, e)$

Paso 4