Precálculo Ejemplos

$4 y^{2} + 4 y - 16 x + 13 = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Aísla $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.1.1

Resta $4 y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$4 y - 16 x + 13 = - 4 y^{2}$

Paso 1.1.1.2

Resta $4 y$ de ambos lados de la ecuación.

$- 16 x + 13 = - 4 y^{2} - 4 y$

Paso 1.1.1.3

Resta $13$ de ambos lados de la ecuación.

$- 16 x = - 4 y^{2} - 4 y - 13$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $- 16 x = - 4 y^{2} - 4 y - 13$ por $- 16$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $- 16 x = - 4 y^{2} - 4 y - 13$ por $- 16$ .

$\frac{- 16 x}{- 16} = \frac{- 4 y^{2}}{- 16} + \frac{- 4 y}{- 16} + \frac{- 13}{- 16}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $- 16$ .

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Paso 1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 16 x}{- 16} = \frac{- 4 y^{2}}{- 16} + \frac{- 4 y}{- 16} + \frac{- 13}{- 16}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 y^{2}}{- 16} + \frac{- 4 y}{- 16} + \frac{- 13}{- 16}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Cancela el factor común de $- 4$ y $- 16$ .

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Paso 1.1.2.3.1.1.1

Factoriza $- 4$ de $- 4 y^{2}$ .

$x = \frac{- 4 (y^{2})}{- 16} + \frac{- 4 y}{- 16} + \frac{- 13}{- 16}$

Paso 1.1.2.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.3.1.1.2.1

Factoriza $- 4$ de $- 16$ .

$x = \frac{- 4 (y^{2})}{- 4 (4)} + \frac{- 4 y}{- 16} + \frac{- 13}{- 16}$

Paso 1.1.2.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{- 4 y^{2}}{- 4 \cdot 4} + \frac{- 4 y}{- 16} + \frac{- 13}{- 16}$

Paso 1.1.2.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 4 y}{- 16} + \frac{- 13}{- 16}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Cancela el factor común de $- 4$ y $- 16$ .

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Paso 1.1.2.3.1.2.1

Factoriza $- 4$ de $- 4 y$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 4 (y)}{- 16} + \frac{- 13}{- 16}$

Paso 1.1.2.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.3.1.2.2.1

Factoriza $- 4$ de $- 16$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 4 (y)}{- 4 (4)} + \frac{- 13}{- 16}$

Paso 1.1.2.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 4 y}{- 4 \cdot 4} + \frac{- 13}{- 16}$

Paso 1.1.2.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{4} + \frac{- 13}{- 16}$

Paso 1.1.2.3.1.3

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{4} + \frac{13}{16}$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $\frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{4} + \frac{13}{16}$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = \frac{1}{4}$

$b = \frac{1}{4}$

$c = \frac{13}{16}$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{1}{4}}{2 (\frac{1}{4})}$

Paso 1.2.3.2

Cancela el factor común de $\frac{1}{4}$ .

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{\frac{1}{4}}{2 (\frac{1}{4})}$

Paso 1.2.3.2.2

Reescribe la expresión.

$d = \frac{1}{2}$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{13}{16} - \frac{{(\frac{1}{4})}^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Cancela el factor común de ${(\frac{1}{4})}^{2}$ y $\frac{1}{4}$ .

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Paso 1.2.4.2.1.1.1

Factoriza $\frac{1}{4}$ de ${(\frac{1}{4})}^{2}$ .

$e = \frac{13}{16} - \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}}{4 (\frac{1}{4})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.4.2.1.1.2.1

Factoriza $\frac{1}{4}$ de $4 (\frac{1}{4})$ .

$e = \frac{13}{16} - \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}}{\frac{1}{4} \cdot 4}$

Paso 1.2.4.2.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$e = \frac{13}{16} - \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}}{\frac{1}{4} \cdot 4}$

Paso 1.2.4.2.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$e = \frac{13}{16} - \frac{\frac{1}{4}}{4}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = \frac{13}{16} - (\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4})$

Paso 1.2.4.2.1.3

Multiplica $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Paso 1.2.4.2.1.3.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$e = \frac{13}{16} - \frac{1}{4 \cdot 4}$

Paso 1.2.4.2.1.3.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$e = \frac{13}{16} - \frac{1}{16}$

Paso 1.2.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{13 - 1}{16}$

Paso 1.2.4.2.3

Resta $1$ de $13$ .

$e = \frac{12}{16}$

Paso 1.2.4.2.4

Cancela el factor común de $12$ y $16$ .

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Paso 1.2.4.2.4.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$e = \frac{4 (3)}{16}$

Paso 1.2.4.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.4.2.4.2.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$e = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4}$

Paso 1.2.4.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$e = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4}$

Paso 1.2.4.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$e = \frac{3}{4}$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $\frac{1}{4} {(y + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{4} {(y + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4}$

Paso 1.3

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = \frac{1}{4} \cdot {(y + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4}$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{1}{4}$

$h = \frac{3}{4}$

$k = - \frac{1}{2}$

Paso 3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(\frac{3}{4}, - \frac{1}{2})$

Paso 4