Precálculo Ejemplos

$\frac{π}{8}$

Paso 1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{8})$ es $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Paso 1.1

Reescribe $\frac{π}{8}$ como un ángulo donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas dividido por $2$ .

$\cos (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Paso 1.2

Aplica la razón del ángulo mitad del coseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Paso 1.3

Cambia $\pm$ por $+$ porque el coseno es positivo en el primer cuadrante.

$\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Paso 1.4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Paso 1.5

Simplifica $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

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Paso 1.5.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Paso 1.5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Paso 1.5.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Paso 1.5.4

Multiplica $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 1.5.4.1

Multiplica $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Paso 1.5.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$

Paso 1.5.5

Reescribe $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Paso 1.5.6

Simplifica el denominador.

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Paso 1.5.6.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Paso 1.5.6.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Paso 2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{8})$ es $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Paso 2.1

Reescribe $\frac{π}{8}$ como un ángulo donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas dividido por $2$ .

$\sin (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Paso 2.2

Aplica la razón del ángulo mitad del seno.

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Paso 2.3

Cambia $\pm$ por $+$ porque el seno es positivo en el primer cuadrante.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Paso 2.4

Simplifica $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ .

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Paso 2.4.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Paso 2.4.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Paso 2.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Paso 2.4.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Paso 2.4.5

Multiplica $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 2.4.5.1

Multiplica $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Paso 2.4.5.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$

Paso 2.4.6

Reescribe $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Paso 2.4.7

Simplifica el denominador.

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Paso 2.4.7.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Paso 2.4.7.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Paso 3

Establece las coordinadas $(\cos (θ), \sin (θ))$ .

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}, \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$