Precálculo Ejemplos

$\log_{b} (\sqrt[6]{\frac{x^{5}}{y^{6} z^{5}}})$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[6]{\frac{x^{5}}{y^{6} z^{5}}}$ como ${(\frac{x^{5}}{y^{6} z^{5}})}^{\frac{1}{6}}$ .

$\log_{b} ({(\frac{x^{5}}{y^{6} z^{5}})}^{\frac{1}{6}})$

Paso 2

Expande $\log_{b} ({(\frac{x^{5}}{y^{6} z^{5}})}^{\frac{1}{6}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{6}$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{6} \log_{b} (\frac{x^{5}}{y^{6} z^{5}})$

Paso 3

Reescribe $\log_{b} (\frac{x^{5}}{y^{6} z^{5}})$ como $\log_{b} (x^{5}) - \log_{b} (y^{6} z^{5})$ .

$\frac{1}{6} (\log_{b} (x^{5}) - \log_{b} (y^{6} z^{5}))$

Paso 4

Expande $\log_{b} (x^{5})$ ; para ello, mueve $5$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{6} (5 \log_{b} (x) - \log_{b} (y^{6} z^{5}))$

Paso 5

Reescribe $\log_{b} (y^{6} z^{5})$ como $\log_{b} (y^{6}) + \log_{b} (z^{5})$ .

$\frac{1}{6} (5 \log_{b} (x) - (\log_{b} (y^{6}) + \log_{b} (z^{5})))$

Paso 6

Expande $\log_{b} (y^{6})$ ; para ello, mueve $6$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{6} (5 \log_{b} (x) - (6 \log_{b} (y) + \log_{b} (z^{5})))$

Paso 7

Expande $\log_{b} (z^{5})$ ; para ello, mueve $5$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{6} (5 \log_{b} (x) - (6 \log_{b} (y) + 5 \log_{b} (z)))$

Paso 8

Simplifica cada término.

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Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{6} (5 \log_{b} (x) - (6 \log_{b} (y)) - (5 \log_{b} (z)))$

Paso 8.2

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$\frac{1}{6} (5 \log_{b} (x) - 6 \log_{b} (y) - (5 \log_{b} (z)))$

Paso 8.3

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{1}{6} (5 \log_{b} (x) - 6 \log_{b} (y) - 5 \log_{b} (z))$

Paso 9

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{6} (5 \log_{b} (x)) + \frac{1}{6} (- 6 \log_{b} (y)) + \frac{1}{6} (- 5 \log_{b} (z))$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Multiplica $\frac{1}{6} (5 \log_{b} (x))$ .

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Paso 10.1.1

Combina $5$ y $\frac{1}{6}$ .

$\frac{5}{6} \log_{b} (x) + \frac{1}{6} (- 6 \log_{b} (y)) + \frac{1}{6} (- 5 \log_{b} (z))$

Paso 10.1.2

Combina $\frac{5}{6}$ y $\log_{b} (x)$ .

$\frac{5 \log_{b} (x)}{6} + \frac{1}{6} (- 6 \log_{b} (y)) + \frac{1}{6} (- 5 \log_{b} (z))$

Paso 10.2

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 10.2.1

Factoriza $6$ de $- 6 \log_{b} (y)$ .

$\frac{5 \log_{b} (x)}{6} + \frac{1}{6} (6 (- \log_{b} (y))) + \frac{1}{6} (- 5 \log_{b} (z))$

Paso 10.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 \log_{b} (x)}{6} + \frac{1}{6} (6 (- \log_{b} (y))) + \frac{1}{6} (- 5 \log_{b} (z))$

Paso 10.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5 \log_{b} (x)}{6} - \log_{b} (y) + \frac{1}{6} (- 5 \log_{b} (z))$

Paso 10.3

Multiplica $\frac{1}{6} (- 5 \log_{b} (z))$ .

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Paso 10.3.1

Combina $- 5$ y $\frac{1}{6}$ .

$\frac{5 \log_{b} (x)}{6} - \log_{b} (y) + \frac{- 5}{6} \log_{b} (z)$

Paso 10.3.2

Combina $\frac{- 5}{6}$ y $\log_{b} (z)$ .

$\frac{5 \log_{b} (x)}{6} - \log_{b} (y) + \frac{- 5 \log_{b} (z)}{6}$

Paso 11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{5 \log_{b} (x)}{6} - \log_{b} (y) - \frac{5 \log_{b} (z)}{6}$