Precálculo Ejemplos

$y = - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x - \frac{5}{2}$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{5}{2}$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $- \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{5}{2}$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$b = 3$

$c = - \frac{5}{2}$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{3}{2 (- \frac{1}{2})}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.3.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$d = \frac{3}{- 2 (\frac{1}{2})}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{3}{\frac{- 2}{2}}$

Paso 1.2.3.2.2

Divide $- 2$ por $2$ .

$d = \frac{3}{- 1}$

Paso 1.2.3.2.3

Divide $3$ por $- 1$ .

$d = - 3$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{5}{2} - \frac{3^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$e = - \frac{5}{2} - \frac{9}{4 (- \frac{1}{2})}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.4.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = - \frac{5}{2} - \frac{9}{- 4 (\frac{1}{2})}$

Paso 1.2.4.2.1.2.2

Combina $- 4$ y $\frac{1}{2}$ .

$e = - \frac{5}{2} - \frac{9}{\frac{- 4}{2}}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Divide $- 4$ por $2$ .

$e = - \frac{5}{2} - \frac{9}{- 2}$

Paso 1.2.4.2.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = - \frac{5}{2} - - \frac{9}{2}$

Paso 1.2.4.2.1.5

Multiplica $- - \frac{9}{2}$ .

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Paso 1.2.4.2.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e = - \frac{5}{2} + 1 (\frac{9}{2})$

Paso 1.2.4.2.1.5.2

Multiplica $\frac{9}{2}$ por $1$ .

$e = - \frac{5}{2} + \frac{9}{2}$

Paso 1.2.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{- 5 + 9}{2}$

Paso 1.2.4.2.3

Suma $- 5$ y $9$ .

$e = \frac{4}{2}$

Paso 1.2.4.2.4

Divide $4$ por $2$ .

$e = 2$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- \frac{1}{2} {(x - 3)}^{2} + 2$ .

$- \frac{1}{2} {(x - 3)}^{2} + 2$

Paso 1.3

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{2} + 2$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$h = 3$

$k = 2$

Paso 3

Como el valor de $a$ es negativo, la parábola se abre hacia abajo.

Abre hacia abajo

Paso 4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(3, 2)$

Paso 5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 5.3.1.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Paso 5.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Paso 5.3.2

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Paso 5.3.3

Divide $4$ por $2$ .

$- \frac{1}{2}$

Paso 6

Obtén el foco.

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Paso 6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(3, \frac{3}{2})$

Paso 7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = 3$

Paso 8