Precálculo Ejemplos

$\frac{- 5 \sqrt{3}}{2} + \frac{5}{2} i$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(5) \sqrt{3}}{2} + \frac{5}{2} i$

Paso 1.2

Combina $\frac{5}{2}$ y $i$ .

$- \frac{5 \sqrt{3}}{2} + \frac{5 i}{2}$

Paso 2

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 3

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 4

Sustituye los valores reales de $a = - \frac{5 \sqrt{3}}{2}$ y $b = \frac{5}{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(\frac{5}{2})}^{2} + {(- \frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Paso 5

Obtén $| z |$ .

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Paso 5.1

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{5^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Paso 5.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{2^{2}} + {(- \frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Paso 5.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- \frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Paso 5.4

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 5.4.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{5 \sqrt{3}}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Paso 5.4.2

Aplica la regla del producto a $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- 1)}^{2} (\frac{{(5 \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}})}$

Paso 5.4.3

Aplica la regla del producto a $5 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- 1)}^{2} (\frac{5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}})}$

Paso 5.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.5.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + 1 (\frac{5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}})}$

Paso 5.5.2

Multiplica $\frac{5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

Paso 5.6

Simplifica el numerador.

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Paso 5.6.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

Paso 5.6.2

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 5.6.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Paso 5.6.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Paso 5.6.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Paso 5.6.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.6.2.4.1

Cancela el factor común.

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Paso 5.6.2.4.2

Reescribe la expresión.

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3}{2^{2}}}$

Paso 5.6.2.5

Evalúa el exponente.

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3}{2^{2}}}$

Paso 5.7

Simplifica la expresión.

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Paso 5.7.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3}{4}}$

Paso 5.7.2

Multiplica $25$ por $3$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{75}{4}}$

Paso 5.7.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$| z | = \sqrt{\frac{25 + 75}{4}}$

Paso 5.7.4

Suma $25$ y $75$ .

$| z | = \sqrt{\frac{100}{4}}$

Paso 5.7.5

Divide $100$ por $4$ .

$| z | = \sqrt{25}$

Paso 5.7.6

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$| z | = \sqrt{5^{2}}$

Paso 5.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$| z | = 5$

Paso 6

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{\frac{5}{2}}{- \frac{5 \sqrt{3}}{2}})$

Paso 7

Como la tangente inversa de $\frac{\frac{5}{2}}{- \frac{5 \sqrt{3}}{2}}$ produce un ángulo en el segundo cuadrante, el valor del ángulo es $\frac{5 π}{6}$ .

$θ = \frac{5 π}{6}$

Paso 8

Sustituye los valores de $θ = \frac{5 π}{6}$ y $| z | = 5$ .

$5 (\cos (\frac{5 π}{6}) + i \sin (\frac{5 π}{6}))$