Precálculo Ejemplos

${(4 + 4 i)}^{5}$

Paso 1

Usa el teorema del binomio.

$4^{5} + 5 \cdot 4^{4} (4 i) + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $5$ .

$1024 + 5 \cdot 4^{4} (4 i) + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Paso 2.1.2

Multiplica $4^{4}$ por $4$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.2.1

Mueve $4$ .

$1024 + 5 \cdot (4 \cdot 4^{4}) i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Paso 2.1.2.2

Multiplica $4$ por $4^{4}$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Eleva $4$ a la potencia de $1$ .

$1024 + 5 \cdot (4^{1} \cdot 4^{4}) i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Paso 2.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1024 + 5 \cdot 4^{1 + 4} i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Paso 2.1.2.3

Suma $1$ y $4$ .

$1024 + 5 \cdot 4^{5} i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Paso 2.1.3

Eleva $4$ a la potencia de $5$ .

$1024 + 5 \cdot 1024 i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Paso 2.1.4

Multiplica $5$ por $1024$ .

$1024 + 5120 i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Paso 2.1.5

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$1024 + 5120 i + 10 \cdot 64 {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Paso 2.1.6

Multiplica $10$ por $64$ .

$1024 + 5120 i + 640 {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Paso 2.1.7

Aplica la regla del producto a $4 i$ .

$1024 + 5120 i + 640 (4^{2} i^{2}) + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Paso 2.1.8

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$1024 + 5120 i + 640 (16 i^{2}) + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Paso 2.1.9

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$1024 + 5120 i + 640 (16 \cdot - 1) + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Paso 2.1.10

Multiplica $640 (16 \cdot - 1)$ .

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Paso 2.1.10.1

Multiplica $16$ por $- 1$ .

$1024 + 5120 i + 640 \cdot - 16 + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Paso 2.1.10.2

Multiplica $640$ por $- 16$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Paso 2.1.11

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 10 \cdot 16 {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Paso 2.1.12

Multiplica $10$ por $16$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Paso 2.1.13

Aplica la regla del producto a $4 i$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (4^{3} i^{3}) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Paso 2.1.14

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (64 i^{3}) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Paso 2.1.15

Factoriza $i^{2}$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (64 (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Paso 2.1.16

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (64 (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Paso 2.1.17

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (64 (- i)) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Paso 2.1.18

Multiplica $- 1$ por $64$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (- 64 i) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Paso 2.1.19

Multiplica $- 64$ por $160$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Paso 2.1.20

Multiplica $5$ por $4$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Paso 2.1.21

Aplica la regla del producto a $4 i$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (4^{4} i^{4}) + {(4 i)}^{5}$

Paso 2.1.22

Eleva $4$ a la potencia de $4$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (256 i^{4}) + {(4 i)}^{5}$

Paso 2.1.23

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.1.23.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (256 {(i^{2})}^{2}) + {(4 i)}^{5}$

Paso 2.1.23.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (256 {(- 1)}^{2}) + {(4 i)}^{5}$

Paso 2.1.23.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (256 \cdot 1) + {(4 i)}^{5}$

Paso 2.1.24

Multiplica $20 (256 \cdot 1)$ .

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Paso 2.1.24.1

Multiplica $256$ por $1$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 \cdot 256 + {(4 i)}^{5}$

Paso 2.1.24.2

Multiplica $20$ por $256$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + {(4 i)}^{5}$

Paso 2.1.25

Aplica la regla del producto a $4 i$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 4^{5} i^{5}$

Paso 2.1.26

Eleva $4$ a la potencia de $5$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 i^{5}$

Paso 2.1.27

Factoriza $i^{4}$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 (i^{4} i)$

Paso 2.1.28

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.1.28.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 ({(i^{2})}^{2} i)$

Paso 2.1.28.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 ({(- 1)}^{2} i)$

Paso 2.1.28.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 (1 i)$

Paso 2.1.29

Multiplica $i$ por $1$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 i$

Paso 2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.2.1

Resta $10240$ de $1024$ .

$- 9216 + 5120 i - 10240 i + 5120 + 1024 i$

Paso 2.2.2

Suma $- 9216$ y $5120$ .

$- 4096 + 5120 i - 10240 i + 1024 i$

Paso 2.2.3

Resta $10240 i$ de $5120 i$ .

$- 4096 - 5120 i + 1024 i$

Paso 2.2.4

Suma $- 5120 i$ y $1024 i$ .

$- 4096 - 4096 i$

Paso 3

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 4

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 5

Sustituye los valores reales de $a = - 4096$ y $b = - 4096$ .

$| z | = \sqrt{{(- 4096)}^{2} + {(- 4096)}^{2}}$

Paso 6

Obtén $| z |$ .

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Paso 6.1

Eleva $- 4096$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{16777216 + {(- 4096)}^{2}}$

Paso 6.2

Eleva $- 4096$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{16777216 + 16777216}$

Paso 6.3

Suma $16777216$ y $16777216$ .

$| z | = \sqrt{33554432}$

Paso 6.4

Reescribe $33554432$ como $4096^{2} \cdot 2$ .

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Paso 6.4.1

Factoriza $16777216$ de $33554432$ .

$| z | = \sqrt{16777216 (2)}$

Paso 6.4.2

Reescribe $16777216$ como $4096^{2}$ .

$| z | = \sqrt{4096^{2} \cdot 2}$

Paso 6.5

Retira los términos de abajo del radical.

$| z | = 4096 \sqrt{2}$

Paso 7

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{- 4096}{- 4096})$

Paso 8

Como la tangente inversa de $\frac{- 4096}{- 4096}$ produce un ángulo en el tercer cuadrante, el valor del ángulo es $\frac{5 π}{4}$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Paso 9

Sustituye los valores de $θ = \frac{5 π}{4}$ y $| z | = 4096 \sqrt{2}$ .

$4096 \sqrt{2} (\cos (\frac{5 π}{4}) + i \sin (\frac{5 π}{4}))$