Precálculo Ejemplos

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + 1 = \sec^{2} (θ)$

Paso 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + 1$

Paso 2

Aplica la identidad pitagórica al revés.

$\frac{1 - \cos^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + 1$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - {\cos (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + 1$

Paso 3.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = \cos (θ)$ .

$\frac{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}{{\cos (θ)}^{2}} + 1$

Paso 3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{{\cos (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$

Paso 3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ)) + {\cos (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$

Paso 3.4

Simplifica el numerador.

$\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$

Paso 4

Reescribe $\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$ como $\sec^{2} (θ)$ .

$\sec^{2} (θ)$

Paso 5

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + 1 = \sec^{2} (θ)$ es una identidad