Precálculo Ejemplos

$\frac{x (x^{4} + 9)}{3 x^{2} - 13 x - 10}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{x (x^{4} + 9)}{3 x^{2} - 13 x - 10}$ no está definida.

$x = - \frac{2}{3}, x = 5$

Paso 2

Como $\frac{x (x^{4} + 9)}{3 x^{2} - 13 x - 10}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $- \frac{2}{3}$ desde la izquierda y $\frac{x (x^{4} + 9)}{3 x^{2} - 13 x - 10}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $- \frac{2}{3}$ desde la derecha, entonces $x = - \frac{2}{3}$ es una asíntota vertical.

$x = - \frac{2}{3}$

Paso 3

Como $\frac{x (x^{4} + 9)}{3 x^{2} - 13 x - 10}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $5$ desde la izquierda y $\frac{x (x^{4} + 9)}{3 x^{2} - 13 x - 10}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $5$ desde la derecha, entonces $x = 5$ es una asíntota vertical.

$x = 5$

Paso 4

Enumera todas las asíntotas verticales:

$x = - \frac{2}{3}, 5$

Paso 5

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 6

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 5$

$m = 2$

Paso 7

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 8

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 8.1

Simplifica la expresión.

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Paso 8.1.1

Factoriza $x$ de $x^{5} + 9 x$ .

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Paso 8.1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{5}$ .

$\frac{x \cdot x^{4} + 9 x}{3 x^{2} - 13 x - 10}$

Paso 8.1.1.2

Factoriza $x$ de $9 x$ .

$\frac{x \cdot x^{4} + x \cdot 9}{3 x^{2} - 13 x - 10}$

Paso 8.1.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{4} + x \cdot 9$ .

$\frac{x (x^{4} + 9)}{3 x^{2} - 13 x - 10}$

Paso 8.1.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 8.1.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 10 = - 30$ y cuya suma es $b = - 13$ .

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Paso 8.1.2.1.1

Factoriza $- 13$ de $- 13 x$ .

$\frac{x (x^{4} + 9)}{3 x^{2} - 13 (x) - 10}$

Paso 8.1.2.1.2

Reescribe $- 13$ como $2$ más $- 15$

$\frac{x (x^{4} + 9)}{3 x^{2} + (2 - 15) x - 10}$

Paso 8.1.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x^{4} + 9)}{3 x^{2} + 2 x - 15 x - 10}$

Paso 8.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 8.1.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{x (x^{4} + 9)}{(3 x^{2} + 2 x) - 15 x - 10}$

Paso 8.1.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (x^{4} + 9)}{x (3 x + 2) - 5 (3 x + 2)}$

Paso 8.1.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x + 2$ .

$\frac{x (x^{4} + 9)}{(3 x + 2) (x - 5)}$

Paso 8.2

Expande $x (x^{4} + 9)$ .

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Paso 8.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x^{4} + x \cdot 9}{(3 x + 2) (x - 5)}$

Paso 8.2.2

Reordena $x$ y $9$ .

$\frac{x \cdot x^{4} + 9 x}{(3 x + 2) (x - 5)}$

Paso 8.2.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \cdot x^{4} + 9 x}{(3 x + 2) (x - 5)}$

Paso 8.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{1 + 4} + 9 x}{(3 x + 2) (x - 5)}$

Paso 8.2.5

Suma $1$ y $4$ .

$\frac{x^{5} + 9 x}{(3 x + 2) (x - 5)}$

Paso 8.3

Expande $(3 x + 2) (x - 5)$ .

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Paso 8.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{5} + 9 x}{3 x (x - 5) + 2 (x - 5)}$

Paso 8.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{5} + 9 x}{3 x \cdot x + 3 x \cdot - 5 + 2 (x - 5)}$

Paso 8.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{5} + 9 x}{3 x \cdot x + 3 x \cdot - 5 + 2 x + 2 \cdot - 5}$

Paso 8.3.4

Mueve $x$ .

$\frac{x^{5} + 9 x}{3 x \cdot x + 3 \cdot (- 5 x) + 2 x + 2 \cdot - 5}$

Paso 8.3.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{5} + 9 x}{3 (x \cdot x) + 3 \cdot (- 5 x) + 2 x + 2 \cdot - 5}$

Paso 8.3.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{5} + 9 x}{3 (x \cdot x) + 3 \cdot (- 5 x) + 2 x + 2 \cdot - 5}$

Paso 8.3.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{5} + 9 x}{3 x^{1 + 1} + 3 \cdot (- 5 x) + 2 x + 2 \cdot - 5}$

Paso 8.3.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x^{5} + 9 x}{3 x^{2} + 3 \cdot (- 5 x) + 2 x + 2 \cdot - 5}$

Paso 8.3.9

Multiplica $3$ por $- 5$ .

$\frac{x^{5} + 9 x}{3 x^{2} - 15 x + 2 x + 2 \cdot - 5}$

Paso 8.3.10

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$\frac{x^{5} + 9 x}{3 x^{2} - 15 x + 2 x - 10}$

Paso 8.3.11

Suma $- 15 x$ y $2 x$ .

$\frac{x^{5} + 9 x}{3 x^{2} - 13 x - 10}$

Paso 8.4

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$3 x^{2}$

$13 x$

$10$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$9 x$

$0$

Paso 8.5

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{5}$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{3}$

$3 x^{2}$

$13 x$

$10$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$9 x$

$0$

Paso 8.6

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$\frac{x^{3}}{3}$

$3 x^{2}$

$13 x$

$10$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$9 x$

$0$

$x^{5}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

Paso 8.7

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{5} - \frac{13 x^{4}}{3} - \frac{10 x^{3}}{3}$ .

$\frac{x^{3}}{3}$

$3 x^{2}$

$13 x$

$10$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$9 x$

$0$

$x^{5}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

Paso 8.8

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$\frac{x^{3}}{3}$

$3 x^{2}$

$13 x$

$10$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$9 x$

$0$

$x^{5}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

Paso 8.9

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$\frac{x^{3}}{3}$

$3 x^{2}$

$13 x$

$10$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$9 x$

$0$

$x^{5}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$0 x^{2}$

Paso 8.10

Divide el término de mayor orden en el dividendo $\frac{13 x^{4}}{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{2}}{9}$

$3 x^{2}$

$13 x$

$10$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$9 x$

$0$

$x^{5}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$0 x^{2}$

Paso 8.11

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$\frac{x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{2}}{9}$

$3 x^{2}$

$13 x$

$10$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$9 x$

$0$

$x^{5}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$0 x^{2}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{169 x^{3}}{9}$

$\frac{130 x^{2}}{9}$

Paso 8.12

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $\frac{13 x^{4}}{3} - \frac{169 x^{3}}{9} - \frac{130 x^{2}}{9}$ .

$\frac{x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{2}}{9}$

$3 x^{2}$

$13 x$

$10$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$9 x$

$0$

$x^{5}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$0 x^{2}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{169 x^{3}}{9}$

$\frac{130 x^{2}}{9}$

Paso 8.13

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$\frac{x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{2}}{9}$

$3 x^{2}$

$13 x$

$10$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$9 x$

$0$

$x^{5}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$0 x^{2}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{169 x^{3}}{9}$

$\frac{130 x^{2}}{9}$

$\frac{199 x^{3}}{9}$

$\frac{130 x^{2}}{9}$

Paso 8.14

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$\frac{x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{2}}{9}$

$3 x^{2}$

$13 x$

$10$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$9 x$

$0$

$x^{5}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$0 x^{2}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{169 x^{3}}{9}$

$\frac{130 x^{2}}{9}$

$\frac{199 x^{3}}{9}$

$\frac{130 x^{2}}{9}$

$9 x$

Paso 8.15

Divide el término de mayor orden en el dividendo $\frac{199 x^{3}}{9}$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{2}}{9}$

$\frac{199 x}{27}$

$3 x^{2}$

$13 x$

$10$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$9 x$

$0$

$x^{5}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$0 x^{2}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{169 x^{3}}{9}$

$\frac{130 x^{2}}{9}$

$\frac{199 x^{3}}{9}$

$\frac{130 x^{2}}{9}$

$9 x$

Paso 8.16

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$\frac{x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{2}}{9}$

$\frac{199 x}{27}$

$3 x^{2}$

$13 x$

$10$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$9 x$

$0$

$x^{5}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$0 x^{2}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{169 x^{3}}{9}$

$\frac{130 x^{2}}{9}$

$\frac{199 x^{3}}{9}$

$\frac{130 x^{2}}{9}$

$9 x$

$\frac{199 x^{3}}{9}$

$\frac{2587 x^{2}}{27}$

$\frac{1990 x}{27}$

Paso 8.17

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $\frac{199 x^{3}}{9} - \frac{2587 x^{2}}{27} - \frac{1990 x}{27}$ .

$\frac{x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{2}}{9}$

$\frac{199 x}{27}$

$3 x^{2}$

$13 x$

$10$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$9 x$

$0$

$x^{5}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$0 x^{2}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{169 x^{3}}{9}$

$\frac{130 x^{2}}{9}$

$\frac{199 x^{3}}{9}$

$\frac{130 x^{2}}{9}$

$9 x$

$\frac{199 x^{3}}{9}$

$\frac{2587 x^{2}}{27}$

$\frac{1990 x}{27}$

Paso 8.18

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$\frac{x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{2}}{9}$

$\frac{199 x}{27}$

$3 x^{2}$

$13 x$

$10$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$9 x$

$0$

$x^{5}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$0 x^{2}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{169 x^{3}}{9}$

$\frac{130 x^{2}}{9}$

$\frac{199 x^{3}}{9}$

$\frac{130 x^{2}}{9}$

$9 x$

$\frac{199 x^{3}}{9}$

$\frac{2587 x^{2}}{27}$

$\frac{1990 x}{27}$

$\frac{2977 x^{2}}{27}$

$\frac{2233 x}{27}$

Paso 8.19

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$\frac{x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{2}}{9}$

$\frac{199 x}{27}$

$3 x^{2}$

$13 x$

$10$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$9 x$

$0$

$x^{5}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$0 x^{2}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{169 x^{3}}{9}$

$\frac{130 x^{2}}{9}$

$\frac{199 x^{3}}{9}$

$\frac{130 x^{2}}{9}$

$9 x$

$\frac{199 x^{3}}{9}$

$\frac{2587 x^{2}}{27}$

$\frac{1990 x}{27}$

$\frac{2977 x^{2}}{27}$

$\frac{2233 x}{27}$

$0$

Paso 8.20

Divide el término de mayor orden en el dividendo $\frac{2977 x^{2}}{27}$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{2}}{9}$

$\frac{199 x}{27}$

$\frac{2977}{81}$

$3 x^{2}$

$13 x$

$10$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$9 x$

$0$

$x^{5}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$0 x^{2}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{169 x^{3}}{9}$

$\frac{130 x^{2}}{9}$

$\frac{199 x^{3}}{9}$

$\frac{130 x^{2}}{9}$

$9 x$

$\frac{199 x^{3}}{9}$

$\frac{2587 x^{2}}{27}$

$\frac{1990 x}{27}$

$\frac{2977 x^{2}}{27}$

$\frac{2233 x}{27}$

$0$

Paso 8.21

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$\frac{x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{2}}{9}$

$\frac{199 x}{27}$

$\frac{2977}{81}$

$3 x^{2}$

$13 x$

$10$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$9 x$

$0$

$x^{5}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$0 x^{2}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{169 x^{3}}{9}$

$\frac{130 x^{2}}{9}$

$\frac{199 x^{3}}{9}$

$\frac{130 x^{2}}{9}$

$9 x$

$\frac{199 x^{3}}{9}$

$\frac{2587 x^{2}}{27}$

$\frac{1990 x}{27}$

$\frac{2977 x^{2}}{27}$

$\frac{2233 x}{27}$

$0$

$\frac{2977 x^{2}}{27}$

$\frac{38701 x}{81}$

$\frac{29770}{81}$

Paso 8.22

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $\frac{2977 x^{2}}{27} - \frac{38701 x}{81} - \frac{29770}{81}$ .

$\frac{x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{2}}{9}$

$\frac{199 x}{27}$

$\frac{2977}{81}$

$3 x^{2}$

$13 x$

$10$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$9 x$

$0$

$x^{5}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$0 x^{2}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{169 x^{3}}{9}$

$\frac{130 x^{2}}{9}$

$\frac{199 x^{3}}{9}$

$\frac{130 x^{2}}{9}$

$9 x$

$\frac{199 x^{3}}{9}$

$\frac{2587 x^{2}}{27}$

$\frac{1990 x}{27}$

$\frac{2977 x^{2}}{27}$

$\frac{2233 x}{27}$

$0$

$\frac{2977 x^{2}}{27}$

$\frac{38701 x}{81}$

$\frac{29770}{81}$

Paso 8.23

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$\frac{x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{2}}{9}$

$\frac{199 x}{27}$

$\frac{2977}{81}$

$3 x^{2}$

$13 x$

$10$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$9 x$

$0$

$x^{5}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$0 x^{2}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{169 x^{3}}{9}$

$\frac{130 x^{2}}{9}$

$\frac{199 x^{3}}{9}$

$\frac{130 x^{2}}{9}$

$9 x$

$\frac{199 x^{3}}{9}$

$\frac{2587 x^{2}}{27}$

$\frac{1990 x}{27}$

$\frac{2977 x^{2}}{27}$

$\frac{2233 x}{27}$

$0$

$\frac{2977 x^{2}}{27}$

$\frac{38701 x}{81}$

$\frac{29770}{81}$

$\frac{45400 x}{81}$

$\frac{29770}{81}$

Paso 8.24

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\frac{x^{3}}{3} + \frac{13 x^{2}}{9} + \frac{199 x}{27} + \frac{2977}{81} + \frac{\frac{45400 x}{81} + \frac{29770}{81}}{3 x^{2} - 13 x - 10}$

Paso 8.25

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{13 x^{2}}{9} + \frac{199 x}{27} + \frac{2977}{81}$

Paso 9

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = - \frac{2}{3}, 5$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{13 x^{2}}{9} + \frac{199 x}{27} + \frac{2977}{81}$

Paso 10