Precálculo Ejemplos

$\log_{3} (a - 2) + \log_{3} (a - 2) = 2$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} ((a - 2) (a - 2)) = 2$

Paso 1.2

Expande $(a - 2) (a - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{3} (a (a - 2) - 2 (a - 2)) = 2$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{3} (a \cdot a + a \cdot - 2 - 2 (a - 2)) = 2$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{3} (a \cdot a + a \cdot - 2 - 2 a - 2 \cdot - 2) = 2$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $a$ por $a$ .

$\log_{3} (a^{2} + a \cdot - 2 - 2 a - 2 \cdot - 2) = 2$

Paso 1.3.1.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $a$ .

$\log_{3} (a^{2} - 2 \cdot a - 2 a - 2 \cdot - 2) = 2$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$\log_{3} (a^{2} - 2 a - 2 a + 4) = 2$

Paso 1.3.2

Resta $2 a$ de $- 2 a$ .

$\log_{3} (a^{2} - 4 a + 4) = 2$

Paso 2

Reescribe $\log_{3} (a^{2} - 4 a + 4) = 2$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{2} = a^{2} - 4 a + 4$

Paso 3

Resuelve $a$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $a^{2} - 4 a + 4 = 3^{2}$ .

$a^{2} - 4 a + 4 = 3^{2}$

Paso 3.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$a^{2} - 4 a + 4 = 9$

Paso 3.3

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$a^{2} - 4 a + 4 - 9 = 0$

Paso 3.4

Resta $9$ de $4$ .

$a^{2} - 4 a - 5 = 0$

Paso 3.5

Factoriza $a^{2} - 4 a - 5$ con el método AC.

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Paso 3.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 5$ y cuya suma es $- 4$ .

$- 5, 1$

Paso 3.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(a - 5) (a + 1) = 0$

Paso 3.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$a - 5 = 0$

$a + 1 = 0$

Paso 3.7

Establece $a - 5$ igual a $0$ y resuelve $a$ .

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Paso 3.7.1

Establece $a - 5$ igual a $0$ .

$a - 5 = 0$

Paso 3.7.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$a = 5$

Paso 3.8

Establece $a + 1$ igual a $0$ y resuelve $a$ .

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Paso 3.8.1

Establece $a + 1$ igual a $0$ .

$a + 1 = 0$

Paso 3.8.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$a = - 1$

Paso 3.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $(a - 5) (a + 1) = 0$ verdadera.

$a = 5, - 1$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\log_{3} (a - 2) + \log_{3} (a - 2) = 2$ sea verdadera.

$a = 5$