Precálculo Ejemplos

$7 + 42 \cdot 3^{2 - 3 a} = 14 \cdot 3^{- 2 a} + 7$

Paso 1

Resta $14 \cdot 3^{- 2 a}$ de ambos lados de la ecuación.

$7 + 42 \cdot 3^{2 - 3 a} - 14 \cdot 3^{- 2 a} = 7$

Paso 2

Reescribe $3^{2 - 3 a}$ como $3^{2} \cdot 3^{- 3 a}$ .

$7 + 42 \cdot (3^{2} \cdot 3^{- 3 a}) - 14 \cdot 3^{- 2 a} = 7$

Paso 3

Reescribe $3^{- 3 a}$ como exponenciación.

$7 + 42 \cdot (3^{2} \cdot {(3^{a})}^{- 3}) - 14 \cdot 3^{- 2 a} = 7$

Paso 4

Reescribe $3^{- 2 a}$ como exponenciación.

$7 + 42 \cdot (3^{2} \cdot {(3^{a})}^{- 3}) - 14 \cdot {(3^{a})}^{- 2} = 7$

Paso 5

Multiplica $- 14$ por ${3^{a}}^{- 2}$ .

$7 + 42 \cdot (3^{2} {(3^{a})}^{- 3}) - 14 {(3^{a})}^{- 2} = 7$

Paso 6

Sustituye $u$ por $3^{a}$ .

$7 + 42 \cdot (3^{2} u^{- 3}) - 14 u^{- 2} = 7$

Paso 7

Simplifica cada término.

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Paso 7.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$7 + 42 \cdot (9 u^{- 3}) - 14 u^{- 2} = 7$

Paso 7.2

Multiplica $42$ por $9$ .

$7 + 378 u^{- 3} - 14 u^{- 2} = 7$

Paso 7.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$7 + 378 (\frac{1}{u^{3}}) - 14 u^{- 2} = 7$

Paso 7.4

Combina $378$ y $\frac{1}{u^{3}}$ .

$7 + \frac{378}{u^{3}} - 14 u^{- 2} = 7$

Paso 7.5

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$7 + \frac{378}{u^{3}} - 14 \frac{1}{u^{2}} = 7$

Paso 7.6

Combina $- 14$ y $\frac{1}{u^{2}}$ .

$7 + \frac{378}{u^{3}} + \frac{- 14}{u^{2}} = 7$

Paso 7.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$7 + \frac{378}{u^{3}} - \frac{14}{u^{2}} = 7$

Paso 8

Resuelve $u$

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Paso 8.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 8.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, u^{3}, u^{2}, 1$

Paso 8.1.2

Como $1, u^{3}, u^{2}, 1$ contiene tanto números como variables, hay dos pasos para obtener el MCM. Obtén el MCM para la parte numérica $1, 1, 1, 1$ y, luego, obtén el MCM para la parte variable $u^{3}, u^{2}$ .

Paso 8.1.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 8.1.4

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 8.1.5

El MCM de $1, 1, 1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$1$

Paso 8.1.6

Los factores para $u^{3}$ son $u \cdot u \cdot u$ , que es $u$ multiplicada una por la otra $3$ veces.

$u^{3} = u \cdot u \cdot u$

$u$ ocurre $3$ veces.

Paso 8.1.7

Los factores para $u^{2}$ son $u \cdot u$ , que es $u$ multiplicada una por la otra $2$ veces.

$u^{2} = u \cdot u$

$u$ ocurre $2$ veces.

Paso 8.1.8

El MCM de $u^{3}, u^{2}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$u \cdot u \cdot u$

Paso 8.1.9

Simplifica $u \cdot u \cdot u$ .

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Paso 8.1.9.1

Multiplica $u$ por $u$ .

$u^{2} \cdot u$

Paso 8.1.9.2

Multiplica $u^{2}$ por $u$ sumando los exponentes.

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Paso 8.1.9.2.1

Multiplica $u^{2}$ por $u$ .

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Paso 8.1.9.2.1.1

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$u^{2} \cdot u^{1}$

Paso 8.1.9.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$u^{2 + 1}$

Paso 8.1.9.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$u^{3}$

Paso 8.2

Multiplica cada término en $7 + \frac{378}{u^{3}} - \frac{14}{u^{2}} = 7$ por $u^{3}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 8.2.1

Multiplica cada término en $7 + \frac{378}{u^{3}} - \frac{14}{u^{2}} = 7$ por $u^{3}$ .

$7 u^{3} + \frac{378}{u^{3}} u^{3} - \frac{14}{u^{2}} u^{3} = 7 u^{3}$

Paso 8.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.2.1.1

Cancela el factor común de $u^{3}$ .

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Paso 8.2.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$7 u^{3} + \frac{378}{u^{3}} u^{3} - \frac{14}{u^{2}} u^{3} = 7 u^{3}$

Paso 8.2.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$7 u^{3} + 378 - \frac{14}{u^{2}} u^{3} = 7 u^{3}$

Paso 8.2.2.1.2

Cancela el factor común de $u^{2}$ .

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Paso 8.2.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{14}{u^{2}}$ al numerador.

$7 u^{3} + 378 + \frac{- 14}{u^{2}} u^{3} = 7 u^{3}$

Paso 8.2.2.1.2.2

Factoriza $u^{2}$ de $u^{3}$ .

$7 u^{3} + 378 + \frac{- 14}{u^{2}} (u^{2} u) = 7 u^{3}$

Paso 8.2.2.1.2.3

Cancela el factor común.

$7 u^{3} + 378 + \frac{- 14}{u^{2}} (u^{2} u) = 7 u^{3}$

Paso 8.2.2.1.2.4

Reescribe la expresión.

$7 u^{3} + 378 - 14 u = 7 u^{3}$

Paso 8.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 8.3.1

Mueve todos los términos que contengan $u$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 8.3.1.1

Resta $7 u^{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$7 u^{3} + 378 - 14 u - 7 u^{3} = 0$

Paso 8.3.1.2

Combina los términos opuestos en $7 u^{3} + 378 - 14 u - 7 u^{3}$ .

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Paso 8.3.1.2.1

Resta $7 u^{3}$ de $7 u^{3}$ .

$378 - 14 u + 0 = 0$

Paso 8.3.1.2.2

Suma $378 - 14 u$ y $0$ .

$378 - 14 u = 0$

Paso 8.3.2

Resta $378$ de ambos lados de la ecuación.

$- 14 u = - 378$

Paso 8.3.3

Divide cada término en $- 14 u = - 378$ por $- 14$ y simplifica.

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Paso 8.3.3.1

Divide cada término en $- 14 u = - 378$ por $- 14$ .

$\frac{- 14 u}{- 14} = \frac{- 378}{- 14}$

Paso 8.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.3.3.2.1

Cancela el factor común de $- 14$ .

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Paso 8.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 14 u}{- 14} = \frac{- 378}{- 14}$

Paso 8.3.3.2.1.2

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{- 378}{- 14}$

Paso 8.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.3.3.1

Divide $- 378$ por $- 14$ .

$u = 27$

Paso 9

Sustituye $27$ por $u$ en $u = 3^{a}$ .

$27 = 3^{a}$

Paso 10

Resuelve $27 = 3^{a}$ .

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Paso 10.1

Reescribe la ecuación como $3^{a} = 27$ .

$3^{a} = 27$

Paso 10.2

Crea expresiones equivalentes en la ecuación que tengan bases iguales.

$3^{a} = 3^{3}$

Paso 10.3

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$a = 3$