Precálculo Ejemplos

${(a^{3})}^{- 1} = \frac{1}{216}$

Paso 1

Simplifica ambos lados.

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Paso 1.1

Multiplica los exponentes en ${(a^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a^{3 \cdot - 1} = \frac{1}{216}$

Paso 1.1.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$a^{- 3} = \frac{1}{216}$

Paso 1.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{a^{3}} = \frac{1}{216}$

Paso 2

Multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción. Establece esto igual al producto del denominador de la primera fracción y al numerador de la segunda fracción.

$1 \cdot 216 = a^{3} \cdot 1$

Paso 3

Resuelve la ecuación en $a$ .

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $a^{3} \cdot 1 = 1 \cdot 216$ .

$a^{3} \cdot 1 = 1 \cdot 216$

Paso 3.2

Multiplica $a^{3}$ por $1$ .

$a^{3} = 1 \cdot 216$

Paso 3.3

Multiplica $216$ por $1$ .

$a^{3} = 216$

Paso 3.4

Resta $216$ de ambos lados de la ecuación.

$a^{3} - 216 = 0$

Paso 3.5

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.5.1

Reescribe $216$ como $6^{3}$ .

$a^{3} - 6^{3} = 0$

Paso 3.5.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = a$ y $b = 6$ .

$(a - 6) (a^{2} + a \cdot 6 + 6^{2}) = 0$

Paso 3.5.3

Simplifica.

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Paso 3.5.3.1

Mueve $6$ a la izquierda de $a$ .

$(a - 6) (a^{2} + 6 a + 6^{2}) = 0$

Paso 3.5.3.2

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$(a - 6) (a^{2} + 6 a + 36) = 0$

Paso 3.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$a - 6 = 0$

$a^{2} + 6 a + 36 = 0$

Paso 3.7

Establece $a - 6$ igual a $0$ y resuelve $a$ .

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Paso 3.7.1

Establece $a - 6$ igual a $0$ .

$a - 6 = 0$

Paso 3.7.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$a = 6$

Paso 3.8

Establece $a^{2} + 6 a + 36$ igual a $0$ y resuelve $a$ .

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Paso 3.8.1

Establece $a^{2} + 6 a + 36$ igual a $0$ .

$a^{2} + 6 a + 36 = 0$

Paso 3.8.2

Resuelve $a^{2} + 6 a + 36 = 0$ en $a$ .

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Paso 3.8.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.8.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 6$ y $c = 36$ en la fórmula cuadrática y resuelve $a$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 36)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.8.2.3

Simplifica.

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Paso 3.8.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.8.2.3.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$a = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.8.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 36$ .

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Paso 3.8.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$a = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.8.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $36$ .

$a = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 144}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.8.2.3.1.3

Resta $144$ de $36$ .

$a = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 108}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.8.2.3.1.4

Reescribe $- 108$ como $- 1 (108)$ .

$a = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 108}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.8.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (108)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}$ .

$a = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.8.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$a = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.8.2.3.1.7

Reescribe $108$ como $6^{2} \cdot 3$ .

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Paso 3.8.2.3.1.7.1

Factoriza $36$ de $108$ .

$a = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.8.2.3.1.7.2

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$a = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.8.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$a = \frac{- 6 \pm i \cdot (6 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 3.8.2.3.1.9

Mueve $6$ a la izquierda de $i$ .

$a = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.8.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$a = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 3.8.2.3.3

Simplifica $\frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2}$ .

$a = - 3 \pm 3 i \sqrt{3}$

Paso 3.8.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$a = - 3 + 3 i \sqrt{3}, - 3 - 3 i \sqrt{3}$

Paso 3.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $(a - 6) (a^{2} + 6 a + 36) = 0$ verdadera.

$a = 6, - 3 + 3 i \sqrt{3}, - 3 - 3 i \sqrt{3}$