Precálculo Ejemplos

${(z^{2} + 8 z)}^{2} + 23 (z^{2} + 8 z) + 112 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Sea $u = z^{2} + 8 z$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $z^{2} + 8 z$ .

$u^{2} + 23 u + 112 = 0$

Paso 1.2

Factoriza $u^{2} + 23 u + 112$ con el método AC.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $112$ y cuya suma es $23$ .

$7, 16$

Paso 1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u + 7) (u + 16) = 0$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $z^{2} + 8 z$ .

$(z^{2} + 8 z + 7) (z^{2} + 8 z + 16) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$z^{2} + 8 z + 7 = 0$

$z^{2} + 8 z + 16 = 0$

Paso 3

Establece $z^{2} + 8 z + 7$ igual a $0$ y resuelve $z$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Establece $z^{2} + 8 z + 7$ igual a $0$ .

$z^{2} + 8 z + 7 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $z^{2} + 8 z + 7 = 0$ en $z$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Factoriza $z^{2} + 8 z + 7$ con el método AC.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $7$ y cuya suma es $8$ .

$1, 7$

Paso 3.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(z + 1) (z + 7) = 0$

Paso 3.2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$z + 1 = 0$

$z + 7 = 0$

Paso 3.2.3

Establece $z + 1$ igual a $0$ y resuelve $z$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.3.1

Establece $z + 1$ igual a $0$ .

$z + 1 = 0$

Paso 3.2.3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$z = - 1$

Paso 3.2.4

Establece $z + 7$ igual a $0$ y resuelve $z$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.4.1

Establece $z + 7$ igual a $0$ .

$z + 7 = 0$

Paso 3.2.4.2

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$z = - 7$

Paso 3.2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(z + 1) (z + 7) = 0$ verdadera.

$z = - 1, - 7$

Paso 4

Establece $z^{2} + 8 z + 16$ igual a $0$ y resuelve $z$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Establece $z^{2} + 8 z + 16$ igual a $0$ .

$z^{2} + 8 z + 16 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $z^{2} + 8 z + 16 = 0$ en $z$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$z^{2} + 8 z + 4^{2} = 0$

Paso 4.2.1.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$8 z = 2 \cdot z \cdot 4$

Paso 4.2.1.3

Reescribe el polinomio.

$z^{2} + 2 \cdot z \cdot 4 + 4^{2} = 0$

Paso 4.2.1.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = z$ y $b = 4$ .

${(z + 4)}^{2} = 0$

Paso 4.2.2

Establece $z + 4$ igual a $0$ .

$z + 4 = 0$

Paso 4.2.3

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$z = - 4$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(z^{2} + 8 z + 7) (z^{2} + 8 z + 16) = 0$ verdadera.

$z = - 1, - 7, - 4$