Precálculo Ejemplos

$3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x + 5 y = 0$

Paso 1

Divide ambos lados de la ecuación por $3$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 x + \frac{5 y}{3} = 0$

Paso 2

Completa el cuadrado de $x^{2} - 2 x$ .

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Paso 2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = - 2$

$c = 0$

Paso 2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 2.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Paso 2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 1}{1}$

Paso 2.3.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Paso 2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Paso 2.4.2.1.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.4.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Paso 2.4.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Paso 2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e = 0 - 1$

Paso 2.4.2.2

Resta $1$ de $0$ .

$e = - 1$

Paso 2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x - 1)}^{2} - 1$ .

${(x - 1)}^{2} - 1$

Paso 3

Sustituye ${(x - 1)}^{2} - 1$ por $x^{2} - 2 x$ en la ecuación $x^{2} + y^{2} - 2 x + \frac{5 y}{3} = 0$ .

${(x - 1)}^{2} - 1 + y^{2} + \frac{5 y}{3} = 0$

Paso 4

Mueve $- 1$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $1$ a ambos lados.

${(x - 1)}^{2} + y^{2} + \frac{5 y}{3} = 0 + 1$

Paso 5

Completa el cuadrado de $y^{2} + \frac{5 y}{3}$ .

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Paso 5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = \frac{5}{3}$

$c = 0$

Paso 5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{5}{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$d = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 5.3.2.3

Multiplica $\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 5.3.2.3.1

Multiplica $\frac{5}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{5}{3 \cdot 2}$

Paso 5.3.2.3.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$d = \frac{5}{6}$

Paso 5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(\frac{5}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.4.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{3}$ .

$e = 0 - \frac{\frac{5^{2}}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Paso 5.4.2.1.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{25}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Paso 5.4.2.1.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{25}{9}}{4 \cdot 1}$

Paso 5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{25}{9}}{4}$

Paso 5.4.2.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = 0 - (\frac{25}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Paso 5.4.2.1.4

Multiplica $\frac{25}{9} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Paso 5.4.2.1.4.1

Multiplica $\frac{25}{9}$ por $\frac{1}{4}$ .

$e = 0 - \frac{25}{9 \cdot 4}$

Paso 5.4.2.1.4.2

Multiplica $9$ por $4$ .

$e = 0 - \frac{25}{36}$

Paso 5.4.2.2

Resta $\frac{25}{36}$ de $0$ .

$e = - \frac{25}{36}$

Paso 5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{36}$ .

${(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{36}$

Paso 6

Sustituye ${(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{36}$ por $y^{2} + \frac{5 y}{3}$ en la ecuación $x^{2} + y^{2} - 2 x + \frac{5 y}{3} = 0$ .

${(x - 1)}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{36} = 0 + 1$

Paso 7

Mueve $- \frac{25}{36}$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $\frac{25}{36}$ a ambos lados.

${(x - 1)}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = 0 + 1 + \frac{25}{36}$

Paso 8

Simplifica $0 + 1 + \frac{25}{36}$ .

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Paso 8.1

Suma $0$ y $1$ .

${(x - 1)}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = 1 + \frac{25}{36}$

Paso 8.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

${(x - 1)}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{36}{36} + \frac{25}{36}$

Paso 8.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(x - 1)}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{36 + 25}{36}$

Paso 8.4

Suma $36$ y $25$ .

${(x - 1)}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{61}{36}$