Precálculo Ejemplos

$\sin (\cos^{-1} (u) - \tan^{-1} (v))$

Paso 1

Aplica la diferencia de la razón de los ángulos.

$\sin (\cos^{-1} (u)) \cos (\tan^{-1} (v)) - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(u, \sqrt{1^{2} - u^{2}})$ , $(u, 0)$ y el origen. Entonces $\cos^{-1} (u)$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(u, \sqrt{1^{2} - u^{2}})$ . Por lo tanto, $\sin (\cos^{-1} (u))$ es $\sqrt{1 - u^{2}}$ .

$\sqrt{1 - u^{2}} \cos (\tan^{-1} (v)) - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Paso 2.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\sqrt{1^{2} - u^{2}} \cos (\tan^{-1} (v)) - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Paso 2.1.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = u$ .

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \cos (\tan^{-1} (v)) - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Paso 2.1.4

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(1, v)$ , $(1, 0)$ y el origen. Entonces $\tan^{-1} (v)$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(1, v)$ . Por lo tanto, $\cos (\tan^{-1} (v))$ es $\frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ .

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Paso 2.1.5

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ .

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} (\frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}) - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Paso 2.1.6

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.1.6.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ .

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}} \sqrt{1 + v^{2}}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Paso 2.1.6.2

Eleva $\sqrt{1 + v^{2}}$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1} \sqrt{1 + v^{2}}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Paso 2.1.6.3

Eleva $\sqrt{1 + v^{2}}$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + v^{2}}}^{1}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Paso 2.1.6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1 + 1}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Paso 2.1.6.5

Suma $1$ y $1$ .

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{2}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Paso 2.1.6.6

Reescribe ${\sqrt{1 + v^{2}}}^{2}$ como $1 + v^{2}$ .

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Paso 2.1.6.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 + v^{2}}$ como ${(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{({(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Paso 2.1.6.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Paso 2.1.6.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{2}{2}}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Paso 2.1.6.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.6.6.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{2}{2}}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Paso 2.1.6.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{1}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Paso 2.1.6.6.5

Simplifica.

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Paso 2.1.7

Multiplica $\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}}$ .

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Paso 2.1.7.1

Combina $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ y $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Paso 2.1.7.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Paso 2.1.8

Las funciones coseno y arcocoseno son inversas.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \sin (\tan^{-1} (v))$

Paso 2.1.9

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(1, v)$ , $(1, 0)$ y el origen. Entonces $\tan^{-1} (v)$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(1, v)$ . Por lo tanto, $\sin (\tan^{-1} (v))$ es $\frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}}$

Paso 2.1.10

Multiplica $\frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u (\frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}})$

Paso 2.1.11

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.1.11.1

Multiplica $\frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}} \sqrt{1 + v^{2}}}$

Paso 2.1.11.2

Eleva $\sqrt{1 + v^{2}}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1} \sqrt{1 + v^{2}}}$

Paso 2.1.11.3

Eleva $\sqrt{1 + v^{2}}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + v^{2}}}^{1}}$

Paso 2.1.11.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1 + 1}}$

Paso 2.1.11.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{2}}$

Paso 2.1.11.6

Reescribe ${\sqrt{1 + v^{2}}}^{2}$ como $1 + v^{2}$ .

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Paso 2.1.11.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 + v^{2}}$ como ${(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{({(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.1.11.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.1.11.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.1.11.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.11.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.1.11.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{1}}$

Paso 2.1.11.6.5

Simplifica.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}}$

Paso 2.1.12

Combina $\frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}}$ y $u$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - \frac{v \sqrt{1 + v^{2}} u}{1 + v^{2}}$

Paso 2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})} - v \sqrt{1 + v^{2}} u}{1 + v^{2}}$