Precálculo Ejemplos

$125 x^{6} - 25 x^{4} - 20 x^{2} + 4 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(125 x^{6} - 25 x^{4}) - 20 x^{2} + 4 = 0$

Paso 1.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$25 x^{4} (5 x^{2} - 1) - 4 (5 x^{2} - 1) = 0$

Paso 1.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $5 x^{2} - 1$ .

$(5 x^{2} - 1) (25 x^{4} - 4) = 0$

Paso 1.3

Reescribe $25 x^{4}$ como ${(5 x^{2})}^{2}$ .

$(5 x^{2} - 1) ({(5 x^{2})}^{2} - 4) = 0$

Paso 1.4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$(5 x^{2} - 1) ({(5 x^{2})}^{2} - 2^{2}) = 0$

Paso 1.5

Factoriza.

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Paso 1.5.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 5 x^{2}$ y $b = 2$ .

$(5 x^{2} - 1) ((5 x^{2} + 2) (5 x^{2} - 2)) = 0$

Paso 1.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(5 x^{2} - 1) (5 x^{2} + 2) (5 x^{2} - 2) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$5 x^{2} - 1 = 0$

$5 x^{2} + 2 = 0$

$5 x^{2} - 2 = 0$

Paso 3

Establece $5 x^{2} - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $5 x^{2} - 1$ igual a $0$ .

$5 x^{2} - 1 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $5 x^{2} - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$5 x^{2} = 1$

Paso 3.2.2

Divide cada término en $5 x^{2} = 1$ por $5$ y simplifica.

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Paso 3.2.2.1

Divide cada término en $5 x^{2} = 1$ por $5$ .

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{1}{5}$

Paso 3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{1}{5}$

Paso 3.2.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{5}$

Paso 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{5}}$

Paso 3.2.4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{5}}$ .

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Paso 3.2.4.1

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{5}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$

Paso 3.2.4.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$

Paso 3.2.4.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Paso 3.2.4.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.2.4.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Paso 3.2.4.4.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Paso 3.2.4.4.3

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Paso 3.2.4.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Paso 3.2.4.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Paso 3.2.4.4.6

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 3.2.4.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.2.4.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.2.4.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.2.4.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.4.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.2.4.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{1}}$

Paso 3.2.4.4.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5}$

Paso 3.2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Paso 3.2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Paso 3.2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Paso 4

Establece $5 x^{2} + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $5 x^{2} + 2$ igual a $0$ .

$5 x^{2} + 2 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $5 x^{2} + 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$5 x^{2} = - 2$

Paso 4.2.2

Divide cada término en $5 x^{2} = - 2$ por $5$ y simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Divide cada término en $5 x^{2} = - 2$ por $5$ .

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{- 2}{5}$

Paso 4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{- 2}{5}$

Paso 4.2.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2}{5}$

Paso 4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{2} = - \frac{2}{5}$

Paso 4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{2}{5}}$

Paso 4.2.4

Simplifica $\pm \sqrt{- \frac{2}{5}}$ .

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Paso 4.2.4.1

Reescribe $- 1$ como $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{2}{5}}$

Paso 4.2.4.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{2}{5}}$

Paso 4.2.4.3

Reescribe $\sqrt{\frac{2}{5}}$ como $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

Paso 4.2.4.4

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm i (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Paso 4.2.4.5

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.2.4.5.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Paso 4.2.4.5.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Paso 4.2.4.5.3

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Paso 4.2.4.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Paso 4.2.4.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Paso 4.2.4.5.6

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 4.2.4.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.2.4.5.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.2.4.5.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.2.4.5.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.4.5.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.2.4.5.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Paso 4.2.4.5.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

Paso 4.2.4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.4.6.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2 \cdot 5}}{5}$

Paso 4.2.4.6.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{10}}{5}$

Paso 4.2.4.7

Combina $i$ y $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{10}}{5}$

Paso 4.2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{i \sqrt{10}}{5}$

Paso 4.2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{i \sqrt{10}}{5}$

Paso 4.2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{i \sqrt{10}}{5}, - \frac{i \sqrt{10}}{5}$

Paso 5

Establece $5 x^{2} - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $5 x^{2} - 2$ igual a $0$ .

$5 x^{2} - 2 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $5 x^{2} - 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$5 x^{2} = 2$

Paso 5.2.2

Divide cada término en $5 x^{2} = 2$ por $5$ y simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Divide cada término en $5 x^{2} = 2$ por $5$ .

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{2}{5}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{2}{5}$

Paso 5.2.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{2}{5}$

Paso 5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{2}{5}}$

Paso 5.2.4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{2}{5}}$ .

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Paso 5.2.4.1

Reescribe $\sqrt{\frac{2}{5}}$ como $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

Paso 5.2.4.2

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Paso 5.2.4.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.2.4.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Paso 5.2.4.3.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Paso 5.2.4.3.3

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Paso 5.2.4.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Paso 5.2.4.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Paso 5.2.4.3.6

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 5.2.4.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.2.4.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.2.4.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.2.4.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.4.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.2.4.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Paso 5.2.4.3.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

Paso 5.2.4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.4.4.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 \cdot 5}}{5}$

Paso 5.2.4.4.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10}}{5}$

Paso 5.2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}$

Paso 5.2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt{10}}{5}$

Paso 5.2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{\sqrt{10}}{5}$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(5 x^{2} - 1) (5 x^{2} + 2) (5 x^{2} - 2) = 0$ verdadera.

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{i \sqrt{10}}{5}, - \frac{i \sqrt{10}}{5}, \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{\sqrt{10}}{5}$

Paso 7