Precálculo Ejemplos

$\sqrt{3} \cos (2 x) = 2 \sin (x) \cos (2 x)$

Paso 1

Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (2 x)$ a $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ .

$\sqrt{3} (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = 2 \sin (x) \cos (2 x)$

Paso 2

Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (2 x)$ a $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ .

$\sqrt{3} (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = 2 \sin (x) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Paso 3

Resta $2 \sin (x) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{3} (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 4.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) - 2 \sin (x) (- \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 4.1.3

Multiplica $\sin (x)$ por $\sin^{2} (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.3.1

Mueve $\sin^{2} (x)$ .

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) - 2 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cdot - 1 = 0$

Paso 4.1.3.2

Multiplica $\sin^{2} (x)$ por $\sin (x)$ .

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Paso 4.1.3.2.1

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) - 2 (\sin^{2} (x) \sin^{1} (x)) \cdot - 1 = 0$

Paso 4.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) - 2 {\sin (x)}^{2 + 1} \cdot - 1 = 0$

Paso 4.1.3.3

Suma $2$ y $1$ .

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) - 2 \sin^{3} (x) \cdot - 1 = 0$

Paso 4.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin^{3} (x) = 0$

Paso 5

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 5.1

Factoriza $\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin^{3} (x)$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.1.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin^{3} (x) = 0$

Paso 5.1.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\sqrt{3} (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 5.1.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ .

$(\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) (\sqrt{3} - 2 \sin (x)) = 0$

Paso 5.1.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \cos (x)$ y $b = \sin (x)$ .

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) (\sqrt{3} - 2 \sin (x)) = 0$

Paso 5.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

$\sqrt{3} - 2 \sin (x) = 0$

Paso 5.3

Establece $\cos (x) + \sin (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.3.1

Establece $\cos (x) + \sin (x)$ igual a $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

Paso 5.3.2

Resuelve $\cos (x) + \sin (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 5.3.2.1

Divide cada término en la ecuación por $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 5.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 5.3.2.3

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 5.3.2.4

Separa las fracciones.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 5.3.2.5

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Paso 5.3.2.6

Divide $0$ por $1$ .

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

Paso 5.3.2.7

Multiplica $0$ por $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = 0$

Paso 5.3.2.8

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\tan (x) = - 1$

Paso 5.3.2.9

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (- 1)$

Paso 5.3.2.10

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.10.1

El valor exacto de $\arctan (- 1)$ es $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Paso 5.3.2.11

La función tangente es negativa en el segundo y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Paso 5.3.2.12

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 5.3.2.12.1

Suma $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Paso 5.3.2.12.2

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{4}$ es positivo y coterminal con $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Paso 5.3.2.13

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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Paso 5.3.2.13.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 5.3.2.13.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 5.3.2.13.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 5.3.2.13.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 5.3.2.14

Suma $π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 5.3.2.14.1

Suma $π$ y $- \frac{π}{4}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Paso 5.3.2.14.2

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 5.3.2.14.3

Combina fracciones.

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Paso 5.3.2.14.3.1

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 5.3.2.14.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Paso 5.3.2.14.4

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.2.14.4.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Paso 5.3.2.14.4.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Paso 5.3.2.14.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{3 π}{4}$

Paso 5.3.2.15

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5.4

Establece $\cos (x) - \sin (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.4.1

Establece $\cos (x) - \sin (x)$ igual a $0$ .

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Paso 5.4.2

Resuelve $\cos (x) - \sin (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 5.4.2.1

Divide cada término en la ecuación por $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 5.4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 5.4.2.3

Separa las fracciones.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 5.4.2.4

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 5.4.2.5

Divide $- 1$ por $1$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 5.4.2.6

Separa las fracciones.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 5.4.2.7

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Paso 5.4.2.8

Divide $0$ por $1$ .

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Paso 5.4.2.9

Multiplica $0$ por $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = 0$

Paso 5.4.2.10

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- \tan (x) = - 1$

Paso 5.4.2.11

Divide cada término en $- \tan (x) = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 5.4.2.11.1

Divide cada término en $- \tan (x) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 5.4.2.11.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.11.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 5.4.2.11.2.2

Divide $\tan (x)$ por $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 5.4.2.11.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.2.11.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Paso 5.4.2.12

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (1)$

Paso 5.4.2.13

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.2.13.1

El valor exacto de $\arctan (1)$ es $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Paso 5.4.2.14

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Paso 5.4.2.15

Simplifica $π + \frac{π}{4}$ .

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Paso 5.4.2.15.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 5.4.2.15.2

Combina fracciones.

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Paso 5.4.2.15.2.1

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 5.4.2.15.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Paso 5.4.2.15.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.4.2.15.3.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Paso 5.4.2.15.3.2

Suma $4 π$ y $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Paso 5.4.2.16

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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Paso 5.4.2.16.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 5.4.2.16.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 5.4.2.16.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 5.4.2.16.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 5.4.2.17

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5.5

Establece $\sqrt{3} - 2 \sin (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.5.1

Establece $\sqrt{3} - 2 \sin (x)$ igual a $0$ .

$\sqrt{3} - 2 \sin (x) = 0$

Paso 5.5.2

Resuelve $\sqrt{3} - 2 \sin (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 5.5.2.1

Resta $\sqrt{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 \sin (x) = - \sqrt{3}$

Paso 5.5.2.2

Divide cada término en $- 2 \sin (x) = - \sqrt{3}$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 5.5.2.2.1

Divide cada término en $- 2 \sin (x) = - \sqrt{3}$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

Paso 5.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 5.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

Paso 5.5.2.2.2.1.2

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

Paso 5.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.2.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 5.5.2.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 5.5.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.2.4.1

El valor exacto de $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ es $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Paso 5.5.2.5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{3}$

Paso 5.5.2.6

Simplifica $π - \frac{π}{3}$ .

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Paso 5.5.2.6.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 5.5.2.6.2

Combina fracciones.

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Paso 5.5.2.6.2.1

Combina $π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 5.5.2.6.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 5.5.2.6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.5.2.6.3.1

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Paso 5.5.2.6.3.2

Resta $π$ de $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Paso 5.5.2.7

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 5.5.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 5.5.2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 5.5.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 5.5.2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 5.5.2.8

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) (\sqrt{3} - 2 \sin (x)) = 0$ verdadera.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6

Consolida las respuestas.

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Paso 6.1

Consolida $\frac{3 π}{4} + π n$ y $\frac{π}{4} + π n$ en $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6.2

Consolida $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ y $\frac{5 π}{4} + π n$ en $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7