Precálculo Ejemplos

$\sqrt[3]{x} + 4$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = \sqrt[3]{y} + 4$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt[3]{y} + 4 = x$ .

$\sqrt[3]{y} + 4 = x$

Paso 2.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt[3]{y} = x - 4$

Paso 2.3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{y}}^{3} = {(x - 4)}^{3}$

Paso 2.4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{y}$ como $y^{\frac{1}{3}}$ .

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x - 4)}^{3}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 2.4.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 2.4.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 4)}^{3}$

Paso 2.4.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.4.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 4)}^{3}$

Paso 2.4.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{1} = {(x - 4)}^{3}$

Paso 2.4.2.1.2

Simplifica.

$y = {(x - 4)}^{3}$

Paso 2.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.3.1

Simplifica ${(x - 4)}^{3}$ .

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Paso 2.4.3.1.1

Usa el teorema del binomio.

$y = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 4 + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3}$

Paso 2.4.3.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$y = x^{3} - 12 x^{2} + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3}$

Paso 2.4.3.1.2.2

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$y = x^{3} - 12 x^{2} + 3 x \cdot 16 + {(- 4)}^{3}$

Paso 2.4.3.1.2.3

Multiplica $16$ por $3$ .

$y = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x + {(- 4)}^{3}$

Paso 2.4.3.1.2.4

Eleva $- 4$ a la potencia de $3$ .

$y = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$ es la inversa de $f (x) = \sqrt[3]{x} + 4$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Paso 4.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.3.1

Usa el teorema del binomio.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = {\sqrt[3]{x}}^{3} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 4 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Paso 4.2.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.3.2.1

Reescribe ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ como $x$ .

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Paso 4.2.3.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 4 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Paso 4.2.3.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 4 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Paso 4.2.3.2.1.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x^{\frac{3}{3}} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 4 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Paso 4.2.3.2.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.3.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x^{\frac{3}{3}} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 4 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Paso 4.2.3.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 4 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Paso 4.2.3.2.1.5

Simplifica.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 4 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Paso 4.2.3.2.2

Reescribe ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ como $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 3 \sqrt[3]{x^{2}} \cdot 4 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Paso 4.2.3.2.3

Multiplica $4$ por $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Paso 4.2.3.2.4

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 16 + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Paso 4.2.3.2.5

Multiplica $16$ por $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Paso 4.2.3.2.6

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Paso 4.2.3.3

Reescribe ${(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2}$ como $(\sqrt[3]{x} + 4) (\sqrt[3]{x} + 4)$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 ((\sqrt[3]{x} + 4) (\sqrt[3]{x} + 4)) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Paso 4.2.3.4

Expande $(\sqrt[3]{x} + 4) (\sqrt[3]{x} + 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.2.3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 (\sqrt[3]{x} (\sqrt[3]{x} + 4) + 4 (\sqrt[3]{x} + 4)) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Paso 4.2.3.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 4 + 4 (\sqrt[3]{x} + 4)) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Paso 4.2.3.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \cdot 4) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Paso 4.2.3.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.2.3.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.3.5.1.1

Multiplica $\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}$ .

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Paso 4.2.3.5.1.1.1

Eleva $\sqrt[3]{x}$ a la potencia de $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \cdot 4) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Paso 4.2.3.5.1.1.2

Eleva $\sqrt[3]{x}$ a la potencia de $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \cdot 4) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Paso 4.2.3.5.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 ({\sqrt[3]{x}}^{1 + 1} + \sqrt[3]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \cdot 4) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Paso 4.2.3.5.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 ({\sqrt[3]{x}}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \cdot 4) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Paso 4.2.3.5.1.2

Reescribe ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ como $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 (\sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \cdot 4) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Paso 4.2.3.5.1.3

Mueve $4$ a la izquierda de $\sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 (\sqrt[3]{x^{2}} + 4 \cdot \sqrt[3]{x} + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \cdot 4) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Paso 4.2.3.5.1.4

Multiplica $4$ por $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 (\sqrt[3]{x^{2}} + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \sqrt[3]{x} + 16) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Paso 4.2.3.5.2

Suma $4 \sqrt[3]{x}$ y $4 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 (\sqrt[3]{x^{2}} + 8 \sqrt[3]{x} + 16) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Paso 4.2.3.6

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 (8 \sqrt[3]{x}) - 12 \cdot 16 + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Paso 4.2.3.7

Simplifica.

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Paso 4.2.3.7.1

Multiplica $8$ por $- 12$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 96 \sqrt[3]{x} - 12 \cdot 16 + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Paso 4.2.3.7.2

Multiplica $- 12$ por $16$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 96 \sqrt[3]{x} - 192 + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Paso 4.2.3.8

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 96 \sqrt[3]{x} - 192 + 48 \sqrt[3]{x} + 48 \cdot 4 - 64$

Paso 4.2.3.9

Multiplica $48$ por $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 96 \sqrt[3]{x} - 192 + 48 \sqrt[3]{x} + 192 - 64$

Paso 4.2.4

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 4.2.4.1

Combina los términos opuestos en $x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 96 \sqrt[3]{x} - 192 + 48 \sqrt[3]{x} + 192 - 64$ .

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Paso 4.2.4.1.1

Resta $12 \sqrt[3]{x^{2}}$ de $12 \sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 0 + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 96 \sqrt[3]{x} - 192 + 48 \sqrt[3]{x} + 192 - 64$

Paso 4.2.4.1.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 96 \sqrt[3]{x} - 192 + 48 \sqrt[3]{x} + 192 - 64$

Paso 4.2.4.1.3

Suma $- 192$ y $192$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 96 \sqrt[3]{x} + 0 + 48 \sqrt[3]{x} - 64$

Paso 4.2.4.1.4

Suma $x + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 96 \sqrt[3]{x}$ y $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 96 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x} - 64$

Paso 4.2.4.1.5

Resta $64$ de $64$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 48 \sqrt[3]{x} + 0 - 96 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x}$

Paso 4.2.4.1.6

Suma $x + 48 \sqrt[3]{x}$ y $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 48 \sqrt[3]{x} - 96 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x}$

Paso 4.2.4.2

Resta $96 \sqrt[3]{x}$ de $48 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x - 48 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x}$

Paso 4.2.4.3

Combina los términos opuestos en $x - 48 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x}$ .

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Paso 4.2.4.3.1

Suma $- 48 \sqrt[3]{x}$ y $48 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 0$

Paso 4.2.4.3.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = \sqrt[3]{x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64} + 4$

Paso 4.3.3

Elimina los paréntesis.

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = \sqrt[3]{x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64} + 4$

Paso 4.3.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.4.1

Haz que cada término coincida con los términos de la fórmula del teorema del binomio.

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = \sqrt[3]{x^{3} - 3 \cdot (4 x^{2}) + 3 \cdot (4^{2} x) - 1 \cdot 4^{3}} + 4$

Paso 4.3.4.2

Factoriza $x^{3} - 3 \cdot 4 x^{2} + 3 \cdot 4^{2} x - 1 \cdot 4^{3}$ mediante el teorema del binomio.

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = \sqrt[3]{{(x - 4)}^{3}} + 4$

Paso 4.3.4.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = x - 4 + 4$

Paso 4.3.5

Combina los términos opuestos en $x - 4 + 4$ .

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Paso 4.3.5.1

Suma $- 4$ y $4$ .

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = x + 0$

Paso 4.3.5.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$ es la inversa de $f (x) = \sqrt[3]{x} + 4$ .

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$