Precálculo Ejemplos

$z^{6} = i$

Paso 1

Sustituye $u$ por $z^{6}$ .

$u^{6} = i$

Paso 2

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 3

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 4

Sustituye los valores reales de $a = 0$ y $b = 1$ .

$| z | = \sqrt{1^{2}}$

Paso 5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$| z | = 1$

Paso 6

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{1}{0})$

Paso 7

Como el argumento es indefinido y $b$ es positiva, el ángulo del punto en el plano complejo es $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Paso 8

Sustituye los valores de $θ = \frac{π}{2}$ y $| z | = 1$ .

$\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2})$

Paso 9

Reemplaza el lado derecho de la ecuación con la forma trigonométrica.

$u^{6} = \cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2})$

Paso 10

Usa el teorema de DeMoivre para obtener una ecuación para $u$ .

$r^{6} (c o s (6 θ) + i s i n (6 θ)) = i = \cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2})$

Paso 11

Iguala el módulo de la forma trigonométrica a $r^{6}$ para obtener el valor de $r$ .

$r^{6} = 1$

Paso 12

Resuelve la ecuación en $r$ .

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Paso 12.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \pm \sqrt[6]{1}$

Paso 12.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$r = \pm 1$

Paso 12.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 12.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$r = 1$

Paso 12.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$r = - 1$

Paso 12.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$r = 1, - 1$

Paso 13

Obtén el valor aproximado de $r$ .

$r = 1$

Paso 14

Obtén los posibles valores de $θ$ .

$c o s (6 θ) = c o s (2 π n)$ y $s i n (6 θ) = s i n (2 π n)$

Paso 15

Obtención de todos los valores posibles de $θ$ conduce a la ecuación $6 θ = 2 π n$ .

$6 θ = 2 π n$

Paso 16

Obtén el valor de $θ$ para $r = 0$ .

$6 θ = 2 π (0)$

Paso 17

Resuelve la ecuación en $θ$ .

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Paso 17.1

Multiplica $2 π \cdot 0$ .

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Paso 17.1.1

Multiplica $0$ por $2$ .

$6 θ = 0 π$

Paso 17.1.2

Multiplica $0$ por $π$ .

$6 θ = 0$

Paso 17.2

Divide cada término en $6 θ = 0$ por $6$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 17.2.1

Divide cada término en $6 θ = 0$ por $6$ .

$\frac{6 θ}{6} = \frac{0}{6}$

Paso 17.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 17.2.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 17.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 θ}{6} = \frac{0}{6}$

Paso 17.2.2.1.2

Divide $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{0}{6}$

Paso 17.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 17.2.3.1

Divide $0$ por $6$ .

$θ = 0$

Paso 18

Usa los valores de $θ$ y $r$ para obtener una solución para la ecuación $u^{6} = i$ .

$u_{0} = 1 (\cos (0) + i \sin (0))$

Paso 19

Convierte la solución a forma rectangular.

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Paso 19.1

Multiplica $\cos (0) + i \sin (0)$ por $1$ .

$u_{0} = \cos (0) + i \sin (0)$

Paso 19.2

Simplifica cada término.

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Paso 19.2.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$u_{0} = 1 + i \sin (0)$

Paso 19.2.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$u_{0} = 1 + i \cdot 0$

Paso 19.2.3

Multiplica $i$ por $0$ .

$u_{0} = 1 + 0$

Paso 19.3

Suma $1$ y $0$ .

$u_{0} = 1$

Paso 20

Sustituye $z^{6}$ por $u$ para calcular el valor de $z$ tras el desplazamiento a la derecha.

$z_{0} = 0 + 1$

Paso 21

Obtén el valor de $θ$ para $r = 1$ .

$6 θ = 2 π (1)$

Paso 22

Resuelve la ecuación en $θ$ .

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Paso 22.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$6 θ = 2 π$

Paso 22.2

Divide cada término en $6 θ = 2 π$ por $6$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 22.2.1

Divide cada término en $6 θ = 2 π$ por $6$ .

$\frac{6 θ}{6} = \frac{2 π}{6}$

Paso 22.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 22.2.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 22.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 θ}{6} = \frac{2 π}{6}$

Paso 22.2.2.1.2

Divide $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{2 π}{6}$

Paso 22.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 22.2.3.1

Cancela el factor común de $2$ y $6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 22.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $2 π$ .

$θ = \frac{2 (π)}{6}$

Paso 22.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 22.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$θ = \frac{2 π}{2 \cdot 3}$

Paso 22.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$θ = \frac{2 π}{2 \cdot 3}$

Paso 22.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$θ = \frac{π}{3}$

Paso 23

Usa los valores de $θ$ y $r$ para obtener una solución para la ecuación $u^{6} = i$ .

$u_{1} = 1 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))$

Paso 24

Convierte la solución a forma rectangular.

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Paso 24.1

Multiplica $\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})$ por $1$ .

$u_{1} = \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})$

Paso 24.2

Simplifica cada término.

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Paso 24.2.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = \frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})$

Paso 24.2.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = \frac{1}{2} + i (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 24.2.3

Combina $i$ y $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Paso 25

Sustituye $z^{6}$ por $u$ para calcular el valor de $z$ tras el desplazamiento a la derecha.

$z_{1} = 0 + \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Paso 26

Obtén el valor de $θ$ para $r = 2$ .

$6 θ = 2 π (2)$

Paso 27

Resuelve la ecuación en $θ$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 27.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$6 θ = 4 π$

Paso 27.2

Divide cada término en $6 θ = 4 π$ por $6$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 27.2.1

Divide cada término en $6 θ = 4 π$ por $6$ .

$\frac{6 θ}{6} = \frac{4 π}{6}$

Paso 27.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 27.2.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 27.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 θ}{6} = \frac{4 π}{6}$

Paso 27.2.2.1.2

Divide $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{4 π}{6}$

Paso 27.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 27.2.3.1

Cancela el factor común de $4$ y $6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 27.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $4 π$ .

$θ = \frac{2 (2 π)}{6}$

Paso 27.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 27.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$θ = \frac{2 (2 π)}{2 (3)}$

Paso 27.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$θ = \frac{2 (2 π)}{2 \cdot 3}$

Paso 27.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$θ = \frac{2 π}{3}$

Paso 28

Usa los valores de $θ$ y $r$ para obtener una solución para la ecuación $u^{6} = i$ .

$u_{2} = 1 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Paso 29

Convierte la solución a forma rectangular.

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Paso 29.1

Multiplica $\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})$ por $1$ .

$u_{2} = \cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 29.2

Simplifica cada término.

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Paso 29.2.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$u_{2} = - \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 29.2.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$u_{2} = - \frac{1}{2} + i \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 29.2.3

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$u_{2} = - \frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})$

Paso 29.2.4

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{2} = - \frac{1}{2} + i (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 29.2.5

Combina $i$ y $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Paso 30

Sustituye $z^{6}$ por $u$ para calcular el valor de $z$ tras el desplazamiento a la derecha.

$z_{2} = 0 - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Paso 31

Obtén el valor de $θ$ para $r = 3$ .

$6 θ = 2 π (3)$

Paso 32

Resuelve la ecuación en $θ$ .

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Paso 32.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 θ = 6 π$

Paso 32.2

Divide cada término en $6 θ = 6 π$ por $6$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 32.2.1

Divide cada término en $6 θ = 6 π$ por $6$ .

$\frac{6 θ}{6} = \frac{6 π}{6}$

Paso 32.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 32.2.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 32.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 θ}{6} = \frac{6 π}{6}$

Paso 32.2.2.1.2

Divide $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{6 π}{6}$

Paso 32.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 32.2.3.1

Cancela el factor común de $6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 32.2.3.1.1

Cancela el factor común.

$θ = \frac{6 π}{6}$

Paso 32.2.3.1.2

Divide $π$ por $1$ .

$θ = π$

Paso 33

Usa los valores de $θ$ y $r$ para obtener una solución para la ecuación $u^{6} = i$ .

$u_{3} = 1 (\cos (π) + i \sin (π))$

Paso 34

Convierte la solución a forma rectangular.

Toca para ver más pasos...

Paso 34.1

Multiplica $\cos (π) + i \sin (π)$ por $1$ .

$u_{3} = \cos (π) + i \sin (π)$

Paso 34.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 34.2.1

$u_{3} = - \cos (0) + i \sin (π)$

Paso 34.2.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$u_{3} = - 1 \cdot 1 + i \sin (π)$

Paso 34.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$u_{3} = - 1 + i \sin (π)$

Paso 34.2.4

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$u_{3} = - 1 + i \sin (0)$

Paso 34.2.5

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$u_{3} = - 1 + i \cdot 0$

Paso 34.2.6

Multiplica $i$ por $0$ .

$u_{3} = - 1 + 0$

Paso 34.3

Suma $- 1$ y $0$ .

$u_{3} = - 1$

Paso 35

Sustituye $z^{6}$ por $u$ para calcular el valor de $z$ tras el desplazamiento a la derecha.

$z_{3} = 0 - 1$

Paso 36

Obtén el valor de $θ$ para $r = 4$ .

$6 θ = 2 π (4)$

Paso 37

Resuelve la ecuación en $θ$ .

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Paso 37.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$6 θ = 8 π$

Paso 37.2

Divide cada término en $6 θ = 8 π$ por $6$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 37.2.1

Divide cada término en $6 θ = 8 π$ por $6$ .

$\frac{6 θ}{6} = \frac{8 π}{6}$

Paso 37.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 37.2.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 37.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 θ}{6} = \frac{8 π}{6}$

Paso 37.2.2.1.2

Divide $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{8 π}{6}$

Paso 37.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 37.2.3.1

Cancela el factor común de $8$ y $6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 37.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $8 π$ .

$θ = \frac{2 (4 π)}{6}$

Paso 37.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 37.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$θ = \frac{2 (4 π)}{2 (3)}$

Paso 37.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$θ = \frac{2 (4 π)}{2 \cdot 3}$

Paso 37.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$θ = \frac{4 π}{3}$

Paso 38

Usa los valores de $θ$ y $r$ para obtener una solución para la ecuación $u^{6} = i$ .

$u_{4} = 1 (\cos (\frac{4 π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3}))$

Paso 39

Convierte la solución a forma rectangular.

Toca para ver más pasos...

Paso 39.1

Multiplica $\cos (\frac{4 π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3})$ por $1$ .

$u_{4} = \cos (\frac{4 π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3})$

Paso 39.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 39.2.1

$u_{4} = - \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3})$

Paso 39.2.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$u_{4} = - \frac{1}{2} + i \sin (\frac{4 π}{3})$

Paso 39.2.3

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el tercer cuadrante.

$u_{4} = - \frac{1}{2} + i (- \sin (\frac{π}{3}))$

Paso 39.2.4

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{4} = - \frac{1}{2} + i (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 39.2.5

Combina $i$ y $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{4} = - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Paso 40

Sustituye $z^{6}$ por $u$ para calcular el valor de $z$ tras el desplazamiento a la derecha.

$z_{4} = 0 - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Paso 41

Obtén el valor de $θ$ para $r = 5$ .

$6 θ = 2 π (5)$

Paso 42

Resuelve la ecuación en $θ$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 42.1

Multiplica $5$ por $2$ .

$6 θ = 10 π$

Paso 42.2

Divide cada término en $6 θ = 10 π$ por $6$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 42.2.1

Divide cada término en $6 θ = 10 π$ por $6$ .

$\frac{6 θ}{6} = \frac{10 π}{6}$

Paso 42.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 42.2.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 42.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 θ}{6} = \frac{10 π}{6}$

Paso 42.2.2.1.2

Divide $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{10 π}{6}$

Paso 42.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 42.2.3.1

Cancela el factor común de $10$ y $6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 42.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $10 π$ .

$θ = \frac{2 (5 π)}{6}$

Paso 42.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 42.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$θ = \frac{2 (5 π)}{2 (3)}$

Paso 42.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$θ = \frac{2 (5 π)}{2 \cdot 3}$

Paso 42.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$θ = \frac{5 π}{3}$

Paso 43

Usa los valores de $θ$ y $r$ para obtener una solución para la ecuación $u^{6} = i$ .

$u_{5} = 1 (\cos (\frac{5 π}{3}) + i \sin (\frac{5 π}{3}))$

Paso 44

Convierte la solución a forma rectangular.

Toca para ver más pasos...

Paso 44.1

Multiplica $\cos (\frac{5 π}{3}) + i \sin (\frac{5 π}{3})$ por $1$ .

$u_{5} = \cos (\frac{5 π}{3}) + i \sin (\frac{5 π}{3})$

Paso 44.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 44.2.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$u_{5} = \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{5 π}{3})$

Paso 44.2.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$u_{5} = \frac{1}{2} + i \sin (\frac{5 π}{3})$

Paso 44.2.3

$u_{5} = \frac{1}{2} + i (- \sin (\frac{π}{3}))$

Paso 44.2.4

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{5} = \frac{1}{2} + i (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 44.2.5

Combina $i$ y $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{5} = \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Paso 45

Sustituye $z^{6}$ por $u$ para calcular el valor de $z$ tras el desplazamiento a la derecha.

$z_{5} = 0 + \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Paso 46

Estas son las soluciones complejas a $u^{6} = i$ .

$z_{0} = 1$

$z_{1} = \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

$z_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

$z_{3} = - 1$

$z_{4} = - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

$z_{5} = \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$