Precálculo Ejemplos

$\log_{b} (\sqrt{\frac{x^{3} y^{2}}{z^{4}}})$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{\frac{x^{3} y^{2}}{z^{4}}}$ como ${(\frac{x^{3} y^{2}}{z^{4}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{b} ({(\frac{x^{3} y^{2}}{z^{4}})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 2

Expande $\log_{b} ({(\frac{x^{3} y^{2}}{z^{4}})}^{\frac{1}{2}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{2}$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{2} \log_{b} (\frac{x^{3} y^{2}}{z^{4}})$

Paso 3

Reescribe $\log_{b} (\frac{x^{3} y^{2}}{z^{4}})$ como $\log_{b} (x^{3} y^{2}) - \log_{b} (z^{4})$ .

$\frac{1}{2} (\log_{b} (x^{3} y^{2}) - \log_{b} (z^{4}))$

Paso 4

Expande $\log_{b} (z^{4})$ ; para ello, mueve $4$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{2} (\log_{b} (x^{3} y^{2}) - (4 \log_{b} (z)))$

Paso 5

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\log_{b} (x^{3} y^{2}) - 4 \log_{b} (z))$

Paso 6

Reescribe $\log_{b} (x^{3} y^{2})$ como $\log_{b} (x^{3}) + \log_{b} (y^{2})$ .

$\frac{1}{2} (\log_{b} (x^{3}) + \log_{b} (y^{2}) - 4 \log_{b} (z))$

Paso 7

Expande $\log_{b} (x^{3})$ ; para ello, mueve $3$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{2} (3 \log_{b} (x) + \log_{b} (y^{2}) - 4 \log_{b} (z))$

Paso 8

Expande $\log_{b} (y^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{2} (3 \log_{b} (x) + 2 \log_{b} (y) - 4 \log_{b} (z))$

Paso 9

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} (3 \log_{b} (x)) + \frac{1}{2} (2 \log_{b} (y)) + \frac{1}{2} (- 4 \log_{b} (z))$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Multiplica $\frac{1}{2} (3 \log_{b} (x))$ .

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Paso 10.1.1

Combina $3$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} \log_{b} (x) + \frac{1}{2} (2 \log_{b} (y)) + \frac{1}{2} (- 4 \log_{b} (z))$

Paso 10.1.2

Combina $\frac{3}{2}$ y $\log_{b} (x)$ .

$\frac{3 \log_{b} (x)}{2} + \frac{1}{2} (2 \log_{b} (y)) + \frac{1}{2} (- 4 \log_{b} (z))$

Paso 10.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.2.1

Factoriza $2$ de $2 \log_{b} (y)$ .

$\frac{3 \log_{b} (x)}{2} + \frac{1}{2} (2 (\log_{b} (y))) + \frac{1}{2} (- 4 \log_{b} (z))$

Paso 10.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \log_{b} (x)}{2} + \frac{1}{2} (2 \log_{b} (y)) + \frac{1}{2} (- 4 \log_{b} (z))$

Paso 10.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 \log_{b} (x)}{2} + \log_{b} (y) + \frac{1}{2} (- 4 \log_{b} (z))$

Paso 10.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.3.1

Factoriza $2$ de $- 4 \log_{b} (z)$ .

$\frac{3 \log_{b} (x)}{2} + \log_{b} (y) + \frac{1}{2} (2 (- 2 \log_{b} (z)))$

Paso 10.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \log_{b} (x)}{2} + \log_{b} (y) + \frac{1}{2} (2 (- 2 \log_{b} (z)))$

Paso 10.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 \log_{b} (x)}{2} + \log_{b} (y) - 2 \log_{b} (z)$