Precálculo Ejemplos

$\frac{\cos (θ)}{1 - \sin (θ)} = \sec (θ) + \tan (θ)$

Paso 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\frac{\cos (θ)}{1 - \sin (θ)}$

Paso 2

Multiplica $\frac{\cos (θ)}{1 - \sin (θ)}$ por $\frac{1 + \sin (θ)}{1 + \sin (θ)}$ .

$\frac{\cos (θ)}{1 - \sin (θ)} \cdot \frac{1 + \sin (θ)}{1 + \sin (θ)}$

Paso 3

Combinar.

$\frac{\cos (θ) (1 + \sin (θ))}{(1 - \sin (θ)) (1 + \sin (θ))}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\cos (θ) \cdot 1 + \cos (θ) \sin (θ)}{(1 - \sin (θ)) (1 + \sin (θ))}$

Paso 4.2

Multiplica $\cos (θ)$ por $1$ .

$\frac{\cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ)}{(1 - \sin (θ)) (1 + \sin (θ))}$

Paso 5

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Expande $(1 - \sin (θ)) (1 + \sin (θ))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ)}{1 (1 + \sin (θ)) - \sin (θ) (1 + \sin (θ))}$

Paso 5.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ)}{1 \cdot 1 + 1 \sin (θ) - \sin (θ) (1 + \sin (θ))}$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ)}{1 \cdot 1 + 1 \sin (θ) - \sin (θ) \cdot 1 - \sin (θ) \sin (θ)}$

Paso 5.2

Simplifica y combina los términos similares.

$\frac{\cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ)}{1 - \sin^{2} (θ)}$

Paso 6

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{\cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

Paso 7

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Factoriza $\cos (θ)$ de $\cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{\cos (θ) \cdot 1 + \cos (θ) \sin (θ)}{{\cos (θ)}^{2}}$

Paso 7.1.2

Factoriza $\cos (θ)$ de $\cos (θ) \sin (θ)$ .

$\frac{\cos (θ) \cdot 1 + \cos (θ) (\sin (θ))}{{\cos (θ)}^{2}}$

Paso 7.1.3

Factoriza $\cos (θ)$ de $\cos (θ) \cdot 1 + \cos (θ) (\sin (θ))$ .

$\frac{\cos (θ) (1 + \sin (θ))}{{\cos (θ)}^{2}}$

Paso 7.2

Cancela los factores comunes.

$\frac{1 + \sin (θ)}{\cos (θ)}$

Paso 8

Ahora considera el lado derecho de la ecuación.

$\sec (θ) + \tan (θ)$

Paso 9

Convierte a senos y cosenos.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Aplica la identidad recíproca a $\sec (θ)$ .

$\frac{1}{\cos (θ)} + \tan (θ)$

Paso 9.2

Escribe $\tan (θ)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$\frac{1}{\cos (θ)} + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

Paso 10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 + \sin (θ)}{\cos (θ)}$

Paso 11

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\frac{\cos (θ)}{1 - \sin (θ)} = \sec (θ) + \tan (θ)$ es una identidad