Precálculo Ejemplos

$\sqrt{3 z^{2} + 16} = \sqrt{2 z^{2} - 8 z}$

Paso 1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{3 z^{2} + 16}}^{2} = {\sqrt{2 z^{2} - 8 z}}^{2}$

Paso 2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 z^{2} + 16}$ como ${(3 z^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 z^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt{2 z^{2} - 8 z}}^{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${({(3 z^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(3 z^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 z^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{2 z^{2} - 8 z}}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(3 z^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{2 z^{2} - 8 z}}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(3 z^{2} + 16)}^{1} = {\sqrt{2 z^{2} - 8 z}}^{2}$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

$3 z^{2} + 16 = {\sqrt{2 z^{2} - 8 z}}^{2}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica ${\sqrt{2 z^{2} - 8 z}}^{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Factoriza $2 z$ de $2 z^{2} - 8 z$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Factoriza $2 z$ de $2 z^{2}$ .

$3 z^{2} + 16 = {\sqrt{2 z (z) - 8 z}}^{2}$

Paso 2.3.1.1.2

Factoriza $2 z$ de $- 8 z$ .

$3 z^{2} + 16 = {\sqrt{2 z (z) + 2 z (- 4)}}^{2}$

Paso 2.3.1.1.3

Factoriza $2 z$ de $2 z (z) + 2 z (- 4)$ .

$3 z^{2} + 16 = {\sqrt{2 z (z - 4)}}^{2}$

Paso 2.3.1.2

Reescribe ${\sqrt{2 z (z - 4)}}^{2}$ como $2 z (z - 4)$ .

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Paso 2.3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 z (z - 4)}$ como ${(2 z (z - 4))}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 z^{2} + 16 = {({(2 z (z - 4))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 2.3.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 z^{2} + 16 = {(2 z (z - 4))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 2.3.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$3 z^{2} + 16 = {(2 z (z - 4))}^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.3.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$3 z^{2} + 16 = {(2 z (z - 4))}^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.3.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$3 z^{2} + 16 = {(2 z (z - 4))}^{1}$

Paso 2.3.1.2.5

Simplifica.

$3 z^{2} + 16 = 2 z (z - 4)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 z^{2} + 16 = 2 z \cdot z + 2 z \cdot - 4$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $z$ por $z$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.1.4.1

Mueve $z$ .

$3 z^{2} + 16 = 2 (z \cdot z) + 2 z \cdot - 4$

Paso 2.3.1.4.2

Multiplica $z$ por $z$ .

$3 z^{2} + 16 = 2 z^{2} + 2 z \cdot - 4$

Paso 2.3.1.5

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$3 z^{2} + 16 = 2 z^{2} - 8 z$

Paso 3

Resuelve $z$

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Paso 3.1

Como $z$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$2 z^{2} - 8 z = 3 z^{2} + 16$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que contengan $z$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Resta $3 z^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 z^{2} - 8 z - 3 z^{2} = 16$

Paso 3.2.2

Resta $3 z^{2}$ de $2 z^{2}$ .

$- z^{2} - 8 z = 16$

Paso 3.3

Resta $16$ de ambos lados de la ecuación.

$- z^{2} - 8 z - 16 = 0$

Paso 3.4

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.4.1

Factoriza $- 1$ de $- z^{2} - 8 z - 16$ .

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Paso 3.4.1.1

Factoriza $- 1$ de $- z^{2}$ .

$- (z^{2}) - 8 z - 16 = 0$

Paso 3.4.1.2

Factoriza $- 1$ de $- 8 z$ .

$- (z^{2}) - (8 z) - 16 = 0$

Paso 3.4.1.3

Reescribe $- 16$ como $- 1 (16)$ .

$- (z^{2}) - (8 z) - 1 \cdot 16 = 0$

Paso 3.4.1.4

Factoriza $- 1$ de $- (z^{2}) - (8 z)$ .

$- (z^{2} + 8 z) - 1 \cdot 16 = 0$

Paso 3.4.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (z^{2} + 8 z) - 1 (16)$ .

$- (z^{2} + 8 z + 16) = 0$

Paso 3.4.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 3.4.2.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$- (z^{2} + 8 z + 4^{2}) = 0$

Paso 3.4.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$8 z = 2 \cdot z \cdot 4$

Paso 3.4.2.3

Reescribe el polinomio.

$- (z^{2} + 2 \cdot z \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Paso 3.4.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = z$ y $b = 4$ .

$- {(z + 4)}^{2} = 0$

Paso 3.5

Divide cada término en $- {(z + 4)}^{2} = 0$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.5.1

Divide cada término en $- {(z + 4)}^{2} = 0$ por $- 1$ .

$\frac{- {(z + 4)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{{(z + 4)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Paso 3.5.2.2

Divide ${(z + 4)}^{2}$ por $1$ .

${(z + 4)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Paso 3.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.3.1

Divide $0$ por $- 1$ .

${(z + 4)}^{2} = 0$

Paso 3.6

Establece $z + 4$ igual a $0$ .

$z + 4 = 0$

Paso 3.7

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$z = - 4$