Precálculo Ejemplos

$\frac{4 y^{2} - 8 y + 12}{y^{2} + y - 6} = 3$

Paso 1

Factoriza cada término.

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Paso 1.1

Factoriza $4$ de $4 y^{2} - 8 y + 12$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $4$ de $4 y^{2}$ .

$\frac{4 (y^{2}) - 8 y + 12}{y^{2} + y - 6} = 3$

Paso 1.1.2

Factoriza $4$ de $- 8 y$ .

$\frac{4 (y^{2}) + 4 (- 2 y) + 12}{y^{2} + y - 6} = 3$

Paso 1.1.3

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{4 y^{2} + 4 (- 2 y) + 4 \cdot 3}{y^{2} + y - 6} = 3$

Paso 1.1.4

Factoriza $4$ de $4 y^{2} + 4 (- 2 y)$ .

$\frac{4 (y^{2} - 2 y) + 4 \cdot 3}{y^{2} + y - 6} = 3$

Paso 1.1.5

Factoriza $4$ de $4 (y^{2} - 2 y) + 4 \cdot 3$ .

$\frac{4 (y^{2} - 2 y + 3)}{y^{2} + y - 6} = 3$

Paso 1.2

Factoriza $y^{2} + y - 6$ con el método AC.

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Paso 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $1$ .

$- 2, 3$

Paso 1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{4 (y^{2} - 2 y + 3)}{(y - 2) (y + 3)} = 3$

Paso 2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$(y - 2) (y + 3), 1$

Paso 2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$(y - 2) (y + 3)$

Paso 3

Multiplica cada término en $\frac{4 (y^{2} - 2 y + 3)}{(y - 2) (y + 3)} = 3$ por $(y - 2) (y + 3)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.1

Multiplica cada término en $\frac{4 (y^{2} - 2 y + 3)}{(y - 2) (y + 3)} = 3$ por $(y - 2) (y + 3)$ .

$\frac{4 (y^{2} - 2 y + 3)}{(y - 2) (y + 3)} ((y - 2) (y + 3)) = 3 ((y - 2) (y + 3))$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $(y - 2) (y + 3)$ .

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 (y^{2} - 2 y + 3)}{(y - 2) (y + 3)} ((y - 2) (y + 3)) = 3 ((y - 2) (y + 3))$

Paso 3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$4 (y^{2} - 2 y + 3) = 3 ((y - 2) (y + 3))$

Paso 3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 y^{2} + 4 (- 2 y) + 4 \cdot 3 = 3 ((y - 2) (y + 3))$

Paso 3.2.3

Simplifica.

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Paso 3.2.3.1

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$4 y^{2} - 8 y + 4 \cdot 3 = 3 ((y - 2) (y + 3))$

Paso 3.2.3.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$4 y^{2} - 8 y + 12 = 3 ((y - 2) (y + 3))$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Expande $(y - 2) (y + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 y^{2} - 8 y + 12 = 3 (y (y + 3) - 2 (y + 3))$

Paso 3.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 y^{2} - 8 y + 12 = 3 (y \cdot y + y \cdot 3 - 2 (y + 3))$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 y^{2} - 8 y + 12 = 3 (y \cdot y + y \cdot 3 - 2 y - 2 \cdot 3)$

Paso 3.3.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$4 y^{2} - 8 y + 12 = 3 (y^{2} + y \cdot 3 - 2 y - 2 \cdot 3)$

Paso 3.3.2.1.2

Mueve $3$ a la izquierda de $y$ .

$4 y^{2} - 8 y + 12 = 3 (y^{2} + 3 \cdot y - 2 y - 2 \cdot 3)$

Paso 3.3.2.1.3

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$4 y^{2} - 8 y + 12 = 3 (y^{2} + 3 y - 2 y - 6)$

Paso 3.3.2.2

Resta $2 y$ de $3 y$ .

$4 y^{2} - 8 y + 12 = 3 (y^{2} + y - 6)$

Paso 3.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 y^{2} - 8 y + 12 = 3 y^{2} + 3 y + 3 \cdot - 6$

Paso 3.3.4

Multiplica $3$ por $- 6$ .

$4 y^{2} - 8 y + 12 = 3 y^{2} + 3 y - 18$

Paso 4

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.1

Mueve todos los términos que contengan $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.1.1

Resta $3 y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$4 y^{2} - 8 y + 12 - 3 y^{2} = 3 y - 18$

Paso 4.1.2

Resta $3 y$ de ambos lados de la ecuación.

$4 y^{2} - 8 y + 12 - 3 y^{2} - 3 y = - 18$

Paso 4.1.3

Resta $3 y^{2}$ de $4 y^{2}$ .

$y^{2} - 8 y + 12 - 3 y = - 18$

Paso 4.1.4

Resta $3 y$ de $- 8 y$ .

$y^{2} - 11 y + 12 = - 18$

Paso 4.2

Suma $18$ a ambos lados de la ecuación.

$y^{2} - 11 y + 12 + 18 = 0$

Paso 4.3

Suma $12$ y $18$ .

$y^{2} - 11 y + 30 = 0$

Paso 4.4

Factoriza $y^{2} - 11 y + 30$ con el método AC.

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Paso 4.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $30$ y cuya suma es $- 11$ .

$- 6, - 5$

Paso 4.4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(y - 6) (y - 5) = 0$

Paso 4.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$y - 6 = 0$

$y - 5 = 0$

Paso 4.6

Establece $y - 6$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 4.6.1

Establece $y - 6$ igual a $0$ .

$y - 6 = 0$

Paso 4.6.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 6$

Paso 4.7

Establece $y - 5$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 4.7.1

Establece $y - 5$ igual a $0$ .

$y - 5 = 0$

Paso 4.7.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 5$

Paso 4.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(y - 6) (y - 5) = 0$ verdadera.

$y = 6, 5$