Precálculo Ejemplos

$\log_{c} (\sqrt[4]{\frac{m^{12} n^{8}}{c^{9} a^{5}}})$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{\frac{m^{12} n^{8}}{c^{9} a^{5}}}$ como ${(\frac{m^{12} n^{8}}{c^{9} a^{5}})}^{\frac{1}{4}}$ .

$\log_{c} ({(\frac{m^{12} n^{8}}{c^{9} a^{5}})}^{\frac{1}{4}})$

Paso 2

Expande $\log_{c} ({(\frac{m^{12} n^{8}}{c^{9} a^{5}})}^{\frac{1}{4}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{4}$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{4} \log_{c} (\frac{m^{12} n^{8}}{c^{9} a^{5}})$

Paso 3

Reescribe $\log_{c} (\frac{m^{12} n^{8}}{c^{9} a^{5}})$ como $\log_{c} (m^{12} n^{8}) - \log_{c} (c^{9} a^{5})$ .

$\frac{1}{4} (\log_{c} (m^{12} n^{8}) - \log_{c} (c^{9} a^{5}))$

Paso 4

Reescribe $\log_{c} (m^{12} n^{8})$ como $\log_{c} (m^{12}) + \log_{c} (n^{8})$ .

$\frac{1}{4} (\log_{c} (m^{12}) + \log_{c} (n^{8}) - \log_{c} (c^{9} a^{5}))$

Paso 5

Expande $\log_{c} (m^{12})$ ; para ello, mueve $12$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{4} (12 \log_{c} (m) + \log_{c} (n^{8}) - \log_{c} (c^{9} a^{5}))$

Paso 6

Expande $\log_{c} (n^{8})$ ; para ello, mueve $8$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{4} (12 \log_{c} (m) + 8 \log_{c} (n) - \log_{c} (c^{9} a^{5}))$

Paso 7

Reescribe $\log_{c} (c^{9} a^{5})$ como $\log_{c} (c^{9}) + \log_{c} (a^{5})$ .

$\frac{1}{4} (12 \log_{c} (m) + 8 \log_{c} (n) - (\log_{c} (c^{9}) + \log_{c} (a^{5})))$

Paso 8

Expande $\log_{c} (c^{9})$ ; para ello, mueve $9$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{4} (12 \log_{c} (m) + 8 \log_{c} (n) - (9 \log_{c} (c) + \log_{c} (a^{5})))$

Paso 9

Expande $\log_{c} (a^{5})$ ; para ello, mueve $5$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{4} (12 \log_{c} (m) + 8 \log_{c} (n) - (9 \log_{c} (c) + 5 \log_{c} (a)))$

Paso 10

El logaritmo en base $c$ de $c$ es $1$ .

$\frac{1}{4} (12 \log_{c} (m) + 8 \log_{c} (n) - (9 \cdot 1 + 5 \log_{c} (a)))$

Paso 11

Multiplica $9$ por $1$ .

$\frac{1}{4} (12 \log_{c} (m) + 8 \log_{c} (n) - (9 + 5 \log_{c} (a)))$

Paso 12

Simplifica cada término.

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Paso 12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{4} (12 \log_{c} (m) + 8 \log_{c} (n) - 1 \cdot 9 - (5 \log_{c} (a)))$

Paso 12.2

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$\frac{1}{4} (12 \log_{c} (m) + 8 \log_{c} (n) - 9 - (5 \log_{c} (a)))$

Paso 12.3

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{1}{4} (12 \log_{c} (m) + 8 \log_{c} (n) - 9 - 5 \log_{c} (a))$

Paso 13

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{4} (12 \log_{c} (m)) + \frac{1}{4} (8 \log_{c} (n)) + \frac{1}{4} \cdot - 9 + \frac{1}{4} (- 5 \log_{c} (a))$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 14.1.1

Factoriza $4$ de $12 \log_{c} (m)$ .

$\frac{1}{4} (4 (3 \log_{c} (m))) + \frac{1}{4} (8 \log_{c} (n)) + \frac{1}{4} \cdot - 9 + \frac{1}{4} (- 5 \log_{c} (a))$

Paso 14.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4} (4 (3 \log_{c} (m))) + \frac{1}{4} (8 \log_{c} (n)) + \frac{1}{4} \cdot - 9 + \frac{1}{4} (- 5 \log_{c} (a))$

Paso 14.1.3

Reescribe la expresión.

$3 \log_{c} (m) + \frac{1}{4} (8 \log_{c} (n)) + \frac{1}{4} \cdot - 9 + \frac{1}{4} (- 5 \log_{c} (a))$

Paso 14.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 14.2.1

Factoriza $4$ de $8 \log_{c} (n)$ .

$3 \log_{c} (m) + \frac{1}{4} (4 (2 \log_{c} (n))) + \frac{1}{4} \cdot - 9 + \frac{1}{4} (- 5 \log_{c} (a))$

Paso 14.2.2

Cancela el factor común.

$3 \log_{c} (m) + \frac{1}{4} (4 (2 \log_{c} (n))) + \frac{1}{4} \cdot - 9 + \frac{1}{4} (- 5 \log_{c} (a))$

Paso 14.2.3

Reescribe la expresión.

$3 \log_{c} (m) + 2 \log_{c} (n) + \frac{1}{4} \cdot - 9 + \frac{1}{4} (- 5 \log_{c} (a))$

Paso 14.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $- 9$ .

$3 \log_{c} (m) + 2 \log_{c} (n) + \frac{- 9}{4} + \frac{1}{4} (- 5 \log_{c} (a))$

Paso 14.4

Multiplica $\frac{1}{4} (- 5 \log_{c} (a))$ .

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Paso 14.4.1

Combina $- 5$ y $\frac{1}{4}$ .

$3 \log_{c} (m) + 2 \log_{c} (n) + \frac{- 9}{4} + \frac{- 5}{4} \log_{c} (a)$

Paso 14.4.2

Combina $\frac{- 5}{4}$ y $\log_{c} (a)$ .

$3 \log_{c} (m) + 2 \log_{c} (n) + \frac{- 9}{4} + \frac{- 5 \log_{c} (a)}{4}$

Paso 15

Simplifica cada término.

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Paso 15.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 \log_{c} (m) + 2 \log_{c} (n) - \frac{9}{4} + \frac{- 5 \log_{c} (a)}{4}$

Paso 15.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 \log_{c} (m) + 2 \log_{c} (n) - \frac{9}{4} - \frac{5 \log_{c} (a)}{4}$