Precálculo Ejemplos

$\log_{5} (x)$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = \log_{5} (y)$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $\log_{5} (y) = x$ .

$\log_{5} (y) = x$

Paso 2.2

Reescribe $\log_{5} (y) = x$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$5^{x} = y$

Paso 2.3

Reescribe la ecuación como $y = 5^{x}$ .

$y = 5^{x}$

Paso 3

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = 5^{x}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = 5^{x}$ es la inversa de $f (x) = \log_{5} (x)$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\log_{5} (x))$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{5} (x)) = 5^{\log_{5} (x)}$

Paso 4.2.3

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f^{- 1} (\log_{5} (x)) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (5^{x})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (5^{x}) = \log_{5} (5^{x})$

Paso 4.3.3

Usa las reglas de logaritmos para mover $x$ fuera del exponente.

$f (5^{x}) = x \log_{5} (5)$

Paso 4.3.4

El logaritmo en base $5$ de $5$ es $1$ .

$f (5^{x}) = x \cdot 1$

Paso 4.3.5

Multiplica $x$ por $1$ .

$f (5^{x}) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = 5^{x}$ es la inversa de $f (x) = \log_{5} (x)$ .

$f^{- 1} (x) = 5^{x}$