Precálculo Ejemplos

$\frac{(x^{2} - 9 x)}{x - 5} < 0$

Paso 1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x^{2} - 9 x = 0$

$x - 5 = 0$

Paso 2

Factoriza $x$ de $x^{2} - 9 x$ .

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Paso 2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x - 9 x = 0$

Paso 2.2

Factoriza $x$ de $- 9 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 9 = 0$

Paso 2.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 9$ .

$x (x - 9) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 9 = 0$

Paso 4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 5

Establece $x - 9$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $x - 9$ igual a $0$ .

$x - 9 = 0$

Paso 5.2

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 9$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x - 9) = 0$ verdadera.

$x = 0, 9$

Paso 7

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 8

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 0, 9$

$x = 5$

Paso 9

Consolida las soluciones.

$x = 0, 9, 5$

Paso 10

Obtén el dominio de $\frac{x^{2} - 9 x}{x - 5}$ .

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Paso 10.1

Establece el denominador en $\frac{x^{2} - 9 x}{x - 5}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x - 5 = 0$

Paso 10.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 10.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

Paso 11

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < 5$

$5 < x < 9$

$x > 9$

Paso 12

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 12.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 12.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$\frac{{(- 2)}^{2} - 9 \cdot - 2}{(- 2) - 5} < 0$

Paso 12.1.3

$- 3.\overline{142857}$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 12.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 12.2.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$\frac{{(2)}^{2} - 9 \cdot 2}{(2) - 5} < 0$

Paso 12.2.3

$4.\overline{6}$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 12.3

Prueba un valor en el intervalo $5 < x < 9$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.3.1

Elije un valor en el intervalo $5 < x < 9$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 7$

Paso 12.3.2

Reemplaza $x$ con $7$ en la desigualdad original.

$\frac{{(7)}^{2} - 9 \cdot 7}{(7) - 5} < 0$

Paso 12.3.3

$- 7$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 12.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 9$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 9$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 12$

Paso 12.4.2

Reemplaza $x$ con $12$ en la desigualdad original.

$\frac{{(12)}^{2} - 9 \cdot 12}{(12) - 5} < 0$

Paso 12.4.3

$5.\overline{142857}$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 12.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Verdadero

$0 < x < 5$ Falso

$5 < x < 9$ Verdadero

$x > 9$ Falso

$x < 0$ Verdadero

$0 < x < 5$ Falso

$5 < x < 9$ Verdadero

$x > 9$ Falso

Paso 13

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < 0$ o $5 < x < 9$

Paso 14

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, 0) \cup (5, 9)$

Paso 15