Precálculo Ejemplos

$\frac{1}{\tan (θ) + \cot (θ)} = \frac{\cos (θ)}{\csc (θ)}$

Paso 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\frac{1}{\tan (θ) + \cot (θ)}$

Paso 2

Convierte a senos y cosenos.

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Paso 2.1

Escribe $\tan (θ)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$\frac{1}{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \cot (θ)}$

Paso 2.2

Escribe $\cot (θ)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$\frac{1}{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1.1

Para escribir $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\sin (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\frac{1}{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sin (θ)}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}}$

Paso 3.1.2

Para escribir $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{1}{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sin (θ)}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}}$

Paso 3.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $\cos (θ) \sin (θ)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.1.3.1

Multiplica $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ por $\frac{\sin (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\frac{1}{\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}}$

Paso 3.1.3.2

Multiplica $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ por $\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{1}{\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)} + \frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\sin (θ) \cos (θ)}}$

$\frac{1}{\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)} + \frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}}$

Paso 3.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{\frac{\sin (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}}$

Paso 3.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.5.1

Multiplica $\sin (θ) \sin (θ)$ .

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Paso 3.1.5.1.1

Eleva $\sin (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\frac{{\sin (θ)}^{1} \sin (θ) + \cos (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}}$

Paso 3.1.5.1.2

Eleva $\sin (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\frac{{\sin (θ)}^{1} {\sin (θ)}^{1} + \cos (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}}$

Paso 3.1.5.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{\frac{{\sin (θ)}^{1 + 1} + \cos (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}}$

Paso 3.1.5.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{\frac{{\sin (θ)}^{2} + \cos (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}}$

Paso 3.1.5.2

Multiplica $\cos (θ) \cos (θ)$ .

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Paso 3.1.5.2.1

Eleva $\cos (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\frac{{\sin (θ)}^{2} + {\cos (θ)}^{1} \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}}$

Paso 3.1.5.2.2

Eleva $\cos (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\frac{{\sin (θ)}^{2} + {\cos (θ)}^{1} {\cos (θ)}^{1}}{\cos (θ) \sin (θ)}}$

Paso 3.1.5.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{\frac{{\sin (θ)}^{2} + {\cos (θ)}^{1 + 1}}{\cos (θ) \sin (θ)}}$

Paso 3.1.5.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{\frac{{\sin (θ)}^{2} + {\cos (θ)}^{2}}{\cos (θ) \sin (θ)}}$

Paso 3.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$1 \frac{\cos (θ) \sin (θ)}{{\sin (θ)}^{2} + {\cos (θ)}^{2}}$

Paso 3.3

Multiplica $\frac{\cos (θ) \sin (θ)}{{\sin (θ)}^{2} + {\cos (θ)}^{2}}$ por $1$ .

$\frac{\cos (θ) \sin (θ)}{\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)}$

Paso 4

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{\cos (θ) \sin (θ)}{1}$

Paso 5

Divide $\cos (θ) \sin (θ)$ por $1$ .

$\cos (θ) \sin (θ)$

Paso 6

Reescribe $\cos (θ) \sin (θ)$ como $\frac{\cos (θ)}{\csc (θ)}$ .

$\frac{\cos (θ)}{\csc (θ)}$

Paso 7

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\frac{1}{\tan (θ) + \cot (θ)} = \frac{\cos (θ)}{\csc (θ)}$ es una identidad