Precálculo Ejemplos

$1 + \cot^{2} (- θ) = \csc^{2} (θ)$

Paso 1

Comienza por el lado izquierdo.

$1 + \cot^{2} (- θ)$

Paso 2

Como $\cot (- θ)$ es una función impar, reescribe $\cot (- θ)$ como $- \cot (θ)$ .

$1 + {(- \cot (θ))}^{2}$

Paso 3

Convierte a senos y cosenos.

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Paso 3.1

Escribe $\cot (θ)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$1 + {(- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$1 + {(- 1)}^{2} {(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{2}$

Paso 3.2.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$1 + {(- 1)}^{2} \frac{{\cos (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 + 1 \frac{{\cos (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}}$

Paso 3.2.3

Multiplica $\frac{{\cos (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}}$ por $1$ .

$1 + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

Paso 4

Aplica la identidad pitagórica al revés.

$1 + \frac{1 - \sin^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$1 + \frac{1^{2} - {\sin (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}}$

Paso 5.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = \sin (θ)$ .

$1 + \frac{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}{{\sin (θ)}^{2}}$

Paso 5.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}} + \frac{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}{{\sin (θ)}^{2}}$

Paso 5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{{\sin (θ)}^{2} + (1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}{{\sin (θ)}^{2}}$

Paso 5.4

Simplifica el numerador.

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)}$

Paso 6

Reescribe $\frac{1}{\sin^{2} (θ)}$ como $\csc^{2} (θ)$ .

$\csc^{2} (θ)$

Paso 7

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$1 + \cot^{2} (- θ) = \csc^{2} (θ)$ es una identidad