Precálculo Ejemplos

$x^{2} + y^{2} + \frac{1}{2} x - 2 y - 5 = 0$

Paso 1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + y^{2} + \frac{1}{2} x - 2 y = 5$

Paso 2

Completa el cuadrado de $x^{2} + \frac{1}{2} x$ .

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Paso 2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$x^{2} + \frac{x}{2}$

Paso 2.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = \frac{1}{2}$

$c = 0$

Paso 2.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{1}{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.2

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 2.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 2.4.2.3

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 2.4.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot 2}$

Paso 2.4.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$d = \frac{1}{4}$

Paso 2.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 2.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$e = 0 - \frac{\frac{1^{2}}{2^{2}}}{4 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.1.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$e = 0 - \frac{\frac{1}{2^{2}}}{4 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.1.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{1}{4}}{4 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{1}{4}}{4}$

Paso 2.5.2.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = 0 - (\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4})$

Paso 2.5.2.1.4

Multiplica $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Paso 2.5.2.1.4.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 4}$

Paso 2.5.2.1.4.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$e = 0 - \frac{1}{16}$

Paso 2.5.2.2

Resta $\frac{1}{16}$ de $0$ .

$e = - \frac{1}{16}$

Paso 2.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}$

Paso 3

Sustituye ${(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}$ por $x^{2} + \frac{1}{2} x$ en la ecuación $x^{2} + y^{2} + \frac{1}{2} x - 2 y = 5$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16} + y^{2} - 2 y = 5$

Paso 4

Mueve $- \frac{1}{16}$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $\frac{1}{16}$ a ambos lados.

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + y^{2} - 2 y = 5 + \frac{1}{16}$

Paso 5

Completa el cuadrado de $y^{2} - 2 y$ .

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Paso 5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = - 2$

$c = 0$

Paso 5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 5.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Paso 5.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 1}{1}$

Paso 5.3.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Paso 5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Paso 5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Paso 5.4.2.1.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.4.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Paso 5.4.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Paso 5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e = 0 - 1$

Paso 5.4.2.2

Resta $1$ de $0$ .

$e = - 1$

Paso 5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(y - 1)}^{2} - 1$ .

${(y - 1)}^{2} - 1$

Paso 6

Sustituye ${(y - 1)}^{2} - 1$ por $y^{2} - 2 y$ en la ecuación $x^{2} + y^{2} + \frac{1}{2} x - 2 y = 5$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y - 1)}^{2} - 1 = 5 + \frac{1}{16}$

Paso 7

Mueve $- 1$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $1$ a ambos lados.

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 5 + \frac{1}{16} + 1$

Paso 8

Simplifica $5 + \frac{1}{16} + 1$ .

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Paso 8.1

Obtén el denominador común

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Paso 8.1.1

Escribe $5$ como una fracción con el denominador $1$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{5}{1} + \frac{1}{16} + 1$

Paso 8.1.2

Multiplica $\frac{5}{1}$ por $\frac{16}{16}$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{5}{1} \cdot \frac{16}{16} + \frac{1}{16} + 1$

Paso 8.1.3

Multiplica $\frac{5}{1}$ por $\frac{16}{16}$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{5 \cdot 16}{16} + \frac{1}{16} + 1$

Paso 8.1.4

Escribe $1$ como una fracción con el denominador $1$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{5 \cdot 16}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{1}$

Paso 8.1.5

Multiplica $\frac{1}{1}$ por $\frac{16}{16}$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{5 \cdot 16}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{1} \cdot \frac{16}{16}$

Paso 8.1.6

Multiplica $\frac{1}{1}$ por $\frac{16}{16}$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{5 \cdot 16}{16} + \frac{1}{16} + \frac{16}{16}$

Paso 8.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{5 \cdot 16 + 1 + 16}{16}$

Paso 8.3

Simplifica la expresión.

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Paso 8.3.1

Multiplica $5$ por $16$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{80 + 1 + 16}{16}$

Paso 8.3.2

Suma $80$ y $1$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{81 + 16}{16}$

Paso 8.3.3

Suma $81$ y $16$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{97}{16}$

Paso 9

Esta es la forma de un círculo. Usa esta forma para determinar el centro y el radio del círculo.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Paso 10

Haz coincidir los valores de este círculo con los de la ecuación ordinaria. La variable $r$ representa el radio del círculo, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$r = \frac{\sqrt{97}}{4}$

$h = - \frac{1}{4}$

$k = 1$

Paso 11

El centro del círculo se ubica en $(h, k)$ .

Centro: $(- \frac{1}{4}, 1)$

Paso 12

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de un círculo.

Centro: $(- \frac{1}{4}, 1)$

Radio: $\frac{\sqrt{97}}{4}$

Paso 13