Precálculo Ejemplos

$(\frac{102 - 3 q^{2}}{q + 2})$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d q} [\frac{f (q)}{g (q)}]$ es $\frac{g (q) \frac{d}{d q} [f (q)] - f (q) \frac{d}{d q} [g (q)]}{{g (q)}^{2}}$ donde $f (q) = 102 - 3 q^{2}$ y $g (q) = q + 2$ .

$\frac{(q + 2) \frac{d}{d q} [102 - 3 q^{2}] - (102 - 3 q^{2}) \frac{d}{d q} [q + 2]}{{(q + 2)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $102 - 3 q^{2}$ con respecto a $q$ es $\frac{d}{d q} [102] + \frac{d}{d q} [- 3 q^{2}]$ .

$\frac{(q + 2) (\frac{d}{d q} [102] + \frac{d}{d q} [- 3 q^{2}]) - (102 - 3 q^{2}) \frac{d}{d q} [q + 2]}{{(q + 2)}^{2}}$

Paso 2.2

Como $102$ es constante con respecto a $q$ , la derivada de $102$ con respecto a $q$ es $0$ .

$\frac{(q + 2) (0 + \frac{d}{d q} [- 3 q^{2}]) - (102 - 3 q^{2}) \frac{d}{d q} [q + 2]}{{(q + 2)}^{2}}$

Paso 2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d q} [- 3 q^{2}]$ .

$\frac{(q + 2) \frac{d}{d q} [- 3 q^{2}] - (102 - 3 q^{2}) \frac{d}{d q} [q + 2]}{{(q + 2)}^{2}}$

Paso 2.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $q$ , la derivada de $- 3 q^{2}$ con respecto a $q$ es $- 3 \frac{d}{d q} [q^{2}]$ .

$\frac{(q + 2) (- 3 \frac{d}{d q} [q^{2}]) - (102 - 3 q^{2}) \frac{d}{d q} [q + 2]}{{(q + 2)}^{2}}$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ es $n q^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(q + 2) (- 3 (2 q)) - (102 - 3 q^{2}) \frac{d}{d q} [q + 2]}{{(q + 2)}^{2}}$

Paso 2.6

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\frac{(q + 2) (- 6 q) - (102 - 3 q^{2}) \frac{d}{d q} [q + 2]}{{(q + 2)}^{2}}$

Paso 2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $q + 2$ con respecto a $q$ es $\frac{d}{d q} [q] + \frac{d}{d q} [2]$ .

$\frac{(q + 2) (- 6 q) - (102 - 3 q^{2}) (\frac{d}{d q} [q] + \frac{d}{d q} [2])}{{(q + 2)}^{2}}$

Paso 2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ es $n q^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(q + 2) (- 6 q) - (102 - 3 q^{2}) (1 + \frac{d}{d q} [2])}{{(q + 2)}^{2}}$

Paso 2.9

Como $2$ es constante con respecto a $q$ , la derivada de $2$ con respecto a $q$ es $0$ .

$\frac{(q + 2) (- 6 q) - (102 - 3 q^{2}) (1 + 0)}{{(q + 2)}^{2}}$

Paso 2.10

Simplifica la expresión.

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Paso 2.10.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(q + 2) (- 6 q) - (102 - 3 q^{2}) \cdot 1}{{(q + 2)}^{2}}$

Paso 2.10.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{(q + 2) (- 6 q) - (102 - 3 q^{2})}{{(q + 2)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{q (- 6 q) + 2 (- 6 q) - (102 - 3 q^{2})}{{(q + 2)}^{2}}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{q (- 6 q) + 2 (- 6 q) - 1 \cdot 102 - (- 3 q^{2})}{{(q + 2)}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{- 6 q \cdot q + 2 (- 6 q) - 1 \cdot 102 - (- 3 q^{2})}{{(q + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $q$ por $q$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.2.1

Mueve $q$ .

$\frac{- 6 (q \cdot q) + 2 (- 6 q) - 1 \cdot 102 - (- 3 q^{2})}{{(q + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.1.2.2

Multiplica $q$ por $q$ .

$\frac{- 6 q^{2} + 2 (- 6 q) - 1 \cdot 102 - (- 3 q^{2})}{{(q + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.1.3

Multiplica $- 6$ por $2$ .

$\frac{- 6 q^{2} - 12 q - 1 \cdot 102 - (- 3 q^{2})}{{(q + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $102$ .

$\frac{- 6 q^{2} - 12 q - 102 - (- 3 q^{2})}{{(q + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.1.5

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$\frac{- 6 q^{2} - 12 q - 102 + 3 q^{2}}{{(q + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Suma $- 6 q^{2}$ y $3 q^{2}$ .

$\frac{- 3 q^{2} - 12 q - 102}{{(q + 2)}^{2}}$

Paso 3.4

Factoriza $3$ de $- 3 q^{2} - 12 q - 102$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $3$ de $- 3 q^{2}$ .

$\frac{3 (- q^{2}) - 12 q - 102}{{(q + 2)}^{2}}$

Paso 3.4.2

Factoriza $3$ de $- 12 q$ .

$\frac{3 (- q^{2}) + 3 (- 4 q) - 102}{{(q + 2)}^{2}}$

Paso 3.4.3

Factoriza $3$ de $- 102$ .

$\frac{3 (- q^{2}) + 3 (- 4 q) + 3 (- 34)}{{(q + 2)}^{2}}$

Paso 3.4.4

Factoriza $3$ de $3 (- q^{2}) + 3 (- 4 q)$ .

$\frac{3 (- q^{2} - 4 q) + 3 (- 34)}{{(q + 2)}^{2}}$

Paso 3.4.5

Factoriza $3$ de $3 (- q^{2} - 4 q) + 3 (- 34)$ .

$\frac{3 (- q^{2} - 4 q - 34)}{{(q + 2)}^{2}}$

Paso 3.5

Factoriza $- 1$ de $- q^{2}$ .

$\frac{3 (- (q^{2}) - 4 q - 34)}{{(q + 2)}^{2}}$

Paso 3.6

Factoriza $- 1$ de $- 4 q$ .

$\frac{3 (- (q^{2}) - (4 q) - 34)}{{(q + 2)}^{2}}$

Paso 3.7

Factoriza $- 1$ de $- (q^{2}) - (4 q)$ .

$\frac{3 (- (q^{2} + 4 q) - 34)}{{(q + 2)}^{2}}$

Paso 3.8

Reescribe $- 34$ como $- 1 (34)$ .

$\frac{3 (- (q^{2} + 4 q) - 1 (34))}{{(q + 2)}^{2}}$

Paso 3.9

Factoriza $- 1$ de $- (q^{2} + 4 q) - 1 (34)$ .

$\frac{3 (- (q^{2} + 4 q + 34))}{{(q + 2)}^{2}}$

Paso 3.10

Reescribe $- (q^{2} + 4 q + 34)$ como $- 1 (q^{2} + 4 q + 34)$ .

$\frac{3 (- 1 (q^{2} + 4 q + 34))}{{(q + 2)}^{2}}$

Paso 3.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 (q^{2} + 4 q + 34)}{{(q + 2)}^{2}}$