Precálculo Ejemplos

$(\sqrt{32}, \sqrt{32})$

Paso 1

Convierte de coordenadas rectangulares $(x, y)$ a coordenadas polares $(r, θ)$ con las fórmulas de conversión.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 2

Reemplaza $x$ y $y$ con los valores reales.

$r = \sqrt{{(\sqrt{32})}^{2} + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3

Obtén la magnitud de la coordenada polar.

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Paso 3.1

Reescribe $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $16$ de $32$ .

$r = \sqrt{{\sqrt{16 (2)}}^{2} + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.1.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$r = \sqrt{{\sqrt{4^{2} \cdot 2}}^{2} + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{{\sqrt{4^{2} \cdot 2}}^{2} + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.2

Retira los términos de abajo del radical.

$r = \sqrt{{(4 \sqrt{2})}^{2} + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.1

Aplica la regla del producto a $4 \sqrt{2}$ .

$r = \sqrt{4^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.3.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{16 {\sqrt{2}}^{2} + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{16 {\sqrt{2}}^{2} + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.4

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \sqrt{16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$r = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.4.1

Cancela el factor común.

$r = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.4.4.2

Reescribe la expresión.

$r = \sqrt{16 \cdot 2 + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{16 \cdot 2 + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.4.5

Evalúa el exponente.

$r = \sqrt{16 \cdot 2 + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{16 \cdot 2 + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.5

Multiplica $16$ por $2$ .

$r = \sqrt{32 + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.6

Reescribe $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

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Paso 3.6.1

Factoriza $16$ de $32$ .

$r = \sqrt{32 + {\sqrt{16 (2)}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.6.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$r = \sqrt{32 + {\sqrt{4^{2} \cdot 2}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{32 + {\sqrt{4^{2} \cdot 2}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.7

Retira los términos de abajo del radical.

$r = \sqrt{32 + {(4 \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.8

Simplifica la expresión.

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Paso 3.8.1

Aplica la regla del producto a $4 \sqrt{2}$ .

$r = \sqrt{32 + 4^{2} {\sqrt{2}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.8.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{32 + 16 {\sqrt{2}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{32 + 16 {\sqrt{2}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.9

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.9.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \sqrt{32 + 16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.9.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{32 + 16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.9.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$r = \sqrt{32 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.9.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.9.4.1

Cancela el factor común.

$r = \sqrt{32 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.9.4.2

Reescribe la expresión.

$r = \sqrt{32 + 16 \cdot 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{32 + 16 \cdot 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.9.5

Evalúa el exponente.

$r = \sqrt{32 + 16 \cdot 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{32 + 16 \cdot 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.10

Simplifica la expresión.

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Paso 3.10.1

Multiplica $16$ por $2$ .

$r = \sqrt{32 + 32}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.10.2

Suma $32$ y $32$ .

$r = \sqrt{64}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.10.3

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$r = \sqrt{8^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.10.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$r = 8$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 8$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 8$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 4

Reemplaza $x$ y $y$ con los valores reales.

$r = 8$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{32}})$

Paso 5

La inversa de la tangente de $1$ es $θ = 45 °$ .

$r = 8$

$θ = 45 °$

Paso 6

Este es el resultado de la conversión a coordenadas polares en la forma $(r, θ)$ .

$(8, 45 °)$