Precálculo Ejemplos

$5 x^{2} + 40 x - y + 78 = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Aísla $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.1.1

Resta $5 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$40 x - y + 78 = - 5 x^{2}$

Paso 1.1.1.2

Resta $40 x$ de ambos lados de la ecuación.

$- y + 78 = - 5 x^{2} - 40 x$

Paso 1.1.1.3

Resta $78$ de ambos lados de la ecuación.

$- y = - 5 x^{2} - 40 x - 78$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $- y = - 5 x^{2} - 40 x - 78$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $- y = - 5 x^{2} - 40 x - 78$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- 5 x^{2}}{- 1} + \frac{- 40 x}{- 1} + \frac{- 78}{- 1}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{- 5 x^{2}}{- 1} + \frac{- 40 x}{- 1} + \frac{- 78}{- 1}$

Paso 1.1.2.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 5 x^{2}}{- 1} + \frac{- 40 x}{- 1} + \frac{- 78}{- 1}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{- 5 x^{2}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (- 5 x^{2}) + \frac{- 40 x}{- 1} + \frac{- 78}{- 1}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot (- 5 x^{2})$ como $- (- 5 x^{2})$ .

$y = - (- 5 x^{2}) + \frac{- 40 x}{- 1} + \frac{- 78}{- 1}$

Paso 1.1.2.3.1.3

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$y = 5 x^{2} + \frac{- 40 x}{- 1} + \frac{- 78}{- 1}$

Paso 1.1.2.3.1.4

Mueve el negativo del denominador de $\frac{- 40 x}{- 1}$ .

$y = 5 x^{2} - 1 \cdot (- 40 x) + \frac{- 78}{- 1}$

Paso 1.1.2.3.1.5

Reescribe $- 1 \cdot (- 40 x)$ como $- (- 40 x)$ .

$y = 5 x^{2} - (- 40 x) + \frac{- 78}{- 1}$

Paso 1.1.2.3.1.6

Multiplica $- 40$ por $- 1$ .

$y = 5 x^{2} + 40 x + \frac{- 78}{- 1}$

Paso 1.1.2.3.1.7

Divide $- 78$ por $- 1$ .

$y = 5 x^{2} + 40 x + 78$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $5 x^{2} + 40 x + 78$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 5$

$b = 40$

$c = 78$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{40}{2 \cdot 5}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $40$ y $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $40$ .

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot 5}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 5$ .

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 (5)}$

Paso 1.2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot 5}$

Paso 1.2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{20}{5}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $20$ y $5$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1

Factoriza $5$ de $20$ .

$d = \frac{5 \cdot 4}{5}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.2.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$d = \frac{5 \cdot 4}{5 (1)}$

Paso 1.2.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{4}{1}$

Paso 1.2.3.2.2.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$d = 4$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 78 - \frac{40^{2}}{4 \cdot 5}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Eleva $40$ a la potencia de $2$ .

$e = 78 - \frac{1600}{4 \cdot 5}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $5$ .

$e = 78 - \frac{1600}{20}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Divide $1600$ por $20$ .

$e = 78 - 1 \cdot 80$

Paso 1.2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $80$ .

$e = 78 - 80$

Paso 1.2.4.2.2

Resta $80$ de $78$ .

$e = - 2$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $5 {(x + 4)}^{2} - 2$ .

$5 {(x + 4)}^{2} - 2$

Paso 1.3

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = 5 {(x + 4)}^{2} - 2$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = 5$

$h = - 4$

$k = - 2$

Paso 3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- 4, - 2)$

Paso 4